[论文解读] $T\overline T$ deformations of non-Lorentz invariant field theories

John Cardy|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用 22

一句话总结

本文将原本针对洛伦兹不变的二维量子场论提出的 $T\overline{T}$ 变形，推广至非洛伦兹不变系统，如非相对论性和伊尔什茨型场论。通过将扎莫洛奇科夫原始论证推广至笛卡尔坐标系并放松洛伦兹不变性，作者推导出在 $\det T$ 变形下有限尺寸谱的普遍微分方程，表明可解性与类似哈吉杜恩的行为在非相对论性设置中依然成立。

ABSTRACT

We point out that the arguments of Zamolodchikov and others on the $T\overline T$ and similar deformations of two-dimensional field theories may be extended to the more general non-Lorentz invariant case, for example non-relativistic and Lifshitz-type theories. We derive results for the finite-size spectrum and $S$-matrix of the deformed theories.

研究动机与目标

• 将原本定义于洛伦兹不变二维量子场论中的 $T\overline{T}$ 变形，推广至非洛伦兹不变场论，如非相对论性和伊尔什茨型系统。
• 建立 $\det T$-变形理论的可解性（包括有限尺寸谱演化）在相对论性或共形场论之外依然成立的结论。
• 推导出在非洛伦兹不变设置下，变形所支配的能量谱的微分方程，即使动量与能量流非零也依然有效。
• 证明当 $t < 0$ 时，变形理论表现出类似哈吉杜恩的态密度，而当 $t > 0$ 时在无限温度下能量饱和，与相对论性 $T\overline{T}$ 行为一致。
• 表明 $T_{00}T_{11}$ 类型的变形——与能量密度乘以压强成正比——在广泛的 1+1 维系统中具有普遍性，类似于 $T\overline{T}$ 的特征。

提出的方法

• 在笛卡尔坐标系中重新表述扎莫洛奇科夫原始的 $T\overline{T}$ 论证，以避免依赖复结构或洛伦兹不变性。
• 通过增量作用修改定义 $\det T$ 变形：$\delta S = -2\delta t \int \epsilon_{ik}\epsilon_{jl} T_{ij}T_{kl} \, d^2x$，其中 $\epsilon$ 为列维-奇维塔张量。
• 使用点分裂正则化方法，在非洛伦兹不变场论中明确定义变形算符。
• 通过分析在周长为 $R$ 的空间圆环上能级的演化，推导出变形下有限尺寸谱的微分方程。
• 采用特征线法与二次量子化中的精确解，求解拉格朗日量的演化方程，特别在非相对论性理想气体的实例中。
• 通过演化方程的完整解，分析变形后理论的热力学行为，包括哈吉杜恩相变与高温下的能量饱和。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $T\overline{T}$ 变形及其可解性推广至洛伦兹不变二维量子场论之外？
• RQ2 在非相对论性和伊尔什茨型场论中，$\det T$ 变形下有限尺寸谱的微分方程是否依然有效？
• RQ3 在非洛伦兹不变的 $\det T$-变形理论中，能量谱与 $S$-矩阵的行为如何，特别是在能量流非零时？
• RQ4 非洛伦兹不变的 $\det T$-变形理论是否表现出类似哈吉杜恩的态密度或在无限温度下的能量饱和？
• RQ5 在无洛伦兹对称性的情况下，$T_{00}T_{11}$ 类型的变形——与能量密度乘以压强成正比——是否在 1+1 维局部场论中具有普遍相关性？

主要发现

• 在洛伦兹不变性下退化为标准 $T\overline{T}$ 变形的 $\det T$ 变形，自然推广至非洛伦兹不变场论，如非相对论性流体与伊尔什茨型系统。
• 当能量流为零时，变形理论的有限尺寸谱遵循与相对论情况相同的微分方程，确认了谱演化的普遍性。
• 当能量流非零时，谱演化需要对电流做出假设，但所得方程仍允许非微扰解，其物理解释尚不明确。
• 对于 $t < 0$，变形理论表现出类似哈吉杜恩的态密度，表明存在高能相，态数呈指数增长。
• 对于 $t > 0$，在无限温度下能量密度趋于有限值，存在对应于负温度的第二分支，与相对论性 $T\overline{T}$ 情况类似。
• 在非相对论性理想气体的实例中，变形生成一个两体相互作用项 $\propto \sum_{a \neq b} p_a p_b (p_a - p_b)^2 \delta(x_a - x_b)$，可解释为软核散射，且通过特征线法精确求解拉格朗日量演化，得到 $F(t,X) = X / (1 - t F(t,X))^2$。