[论文解读] $t$-Structures with Grothendieck hearts via functor categories

Manuel Saorı́n, Jan Šťovíček|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 58被引用 7

一句话总结

本文通过函子范畴与纯性理论，确立了在具有合族的三角范畴中，$t$-结构的中心为AB5或格罗滕迪克范畴的条件。证明了在标准良好生成的三角范畴中，$t$-结构具有格罗滕迪克中心当且仅当其余类包含一个纯内射的$t$-余生成对象，从而将已知结果推广至非紧生成的设定之外。

ABSTRACT

We study when the heart of a t-structure in a triangulated category $\mathcal{D}$ with coproducts is AB5 or a Grothendieck category. If $\mathcal{D}$ satisfies Brown representability, a t-structure has an AB5 heart with an injective cogenerator and coproduct-preserving associated homological functor if, and only if, the coaisle has a pure-injective t-cogenerating object. If $\mathcal{D}$ is standard well generated, such a heart is automatically a Grothendieck category. For compactly generated t-structures (in any ambient triangulated category with coproducts), we prove that the heart is a locally finitely presented Grothendieck category. We use functor categories and the proofs rely on two main ingredients. Firstly, we express the heart of any t-structure in any triangulated category as a Serre quotient of the category of finitely presented additive functors for suitable choices of subcategories of the aisle or the co-aisle that we, respectively, call t-generating or t-cogenerating subcategories. Secondly, we study coproduct-preserving homological functors from $\mathcal{D}$ to complete AB5 abelian categories with injective cogenerators and classify them, up to a so-called computational equivalence, in terms of pure-injective objects in $\mathcal{D}$. This allows us to show that any standard well generated triangulated category $\mathcal{D}$ possesses a universal such coproduct-preserving homological functor, to develop a purity theory and to prove that pure-injective objects always cogenerate t-structures in such triangulated categories.

研究动机与目标

• 确定在具有合族的三角范畴中，$t$-结构的中心何时为AB5或格罗滕迪克范畴。
• 将纯性理论推广至非紧生成的三角范畴之外。
• 利用纯内射对象对这类范畴中的保持合族的同调函子进行分类。
• 为标准良好生成的三角范畴建立一个普遍的保持合族的同调函子。
• 证明紧生成的$t$-结构具有局部有限生成的格罗滕迪克中心。

提出的方法

• 将任意$t$-结构的中心表示为在$t$-生成或$t$-余生成子范畴上的有限表示函子范畴的Serre商。
• 使用函子范畴替代基于${\rm Mod}\text{-}\mathcal{D}^c$的标准方法，使结果适用于非紧生成的设定。
• 通过米尔诺余上积与精确的直极限引入并研究三角范畴中的纯性。
• 通过纯内射对象刻画映射到具有内射余生成元的完备AB5阿贝尔范畴的保持合族的同调函子。
• 证明此类函子的表示性，并在标准良好生成的范畴中构造一个普遍函子。
• 将这些结果应用于利用纯内射对象对具有格罗滕迪克中心的$t$-结构进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有合族的三角范畴中，$t$-结构的中心何时为AB5或格罗滕迪克范畴？
• RQ2 如何将纯性理论推广至非紧生成的三角范畴？
• RQ3 纯内射对象在生成具有格罗滕迪克中心的$t$-结构中起什么作用？
• RQ4 何时一个三角范畴到保持合族的同调函子可由一个纯内射对象表示？
• RQ5 何种条件可确保$t$-结构具有局部有限生成的中心？

主要发现

• 在满足布朗表示性的三角范畴中，$t$-结构具有AB5中心、内射余生成元及保持合族的同调函子，当且仅当其余类包含一个纯内射的$t$-余生成对象。
• 在标准良好生成的三角范畴中，此类中心自动为格罗滕迪克范畴。
• 在任意具有合族的三角范畴中，紧生成的$t$-结构的中心为局部有限生成的格罗滕迪克范畴。
• 本文为标准良好生成的三角范畴构造了一个普遍的保持合族的同调函子。
• 当$t$-结构由一个纯内射的NSZ部分余凝聚对象生成时，$t$-结构的中心为AB5且具有内射余生成元。
• 对于左非退化的$t$-结构，当范畴满足布朗表示性或为标准良好生成时，所有条件——弹性的、AB5中心具有内射余生成元、以及纯内射的AMV部分余凝聚对象——彼此等价。