[论文解读] Tail asymptotic of the stationary distribution for the state dependent (1,R)-reflecting random walk: near critical

Wenming Hong, Ke Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通過內在分支過程結構，建立了狀態相關（1,2）反射隨機遊走正遞迴的明確判據，並推導其穩態分佈。在過渡機率逼近零遞迴邊界的「近臨界」區域中，本文提供了穩態分佈的尾部漸近行為，顯示遞迴性取決於擾動項 $\varepsilon_i$ 相關級數的收斂性，當正遞迴成立時，其對數衰減率為 $\log \pi(i) \sim -\kappa \sum_{k=0}^i \varepsilon_k$。

ABSTRACT

In this paper, we consider the $(1,R)$ state-dependent reflecting random walk (RW) on the half line, allowing the size of jumps to the right at maximal $R$ and to the left only 1. We provide an explicit criterion for positive recurrence and the explicit expression of the stationary distribution based on the intrinsic branching structure within the walk. As an application, we obtain the tail asymptotic of the stationary distribution in the "near critical" situation.

研究动机与目标

• 建立狀態相關（1,R）反射隨機遊走（R=2）正遞迴的嚴謹判據。
• 利用遊走的內在分支結構，推導穩態分佈的明確表達式。
• 分析過渡機率逼近零遞迴邊界的「近臨界」區域中穩態分佈的尾部行為。
• 確定當 $\varepsilon_i \to 0$ 時，遊走由零遞迴轉向正遞迴的精確條件。

提出的方法

• 定義 $\mu(i)$ 為靜態測度，透過狀態相關跳躍速率所導出的轉移矩陣 $M_i$ 的乘積。
• 利用矩陣 $M_i$ 建模分支過程結構，其中項 $\theta_k(i) = \frac{p_k(i) + \cdots + p_R(i)}{q(i)}$。
• 使用相似變換矩陣 $T$ 及特徵值 $\lambda_1, \lambda_2$，對矩陣乘積 $M_{i-1}^\prime \cdots M_1^\prime$ 進行漸近分析。
• 透過對角化與乘積估計，建立 $\mu(i)$ 的漸近行為，進而導出 $\mu(i) \sim c \cdot \prod_{k=0}^{i-1} (1 - \kappa \varepsilon_k)$。
• 利用對數近似 $\log(1 - \kappa \varepsilon_k) \sim -\kappa \varepsilon_k$，推導 $\mu(i)$ 的衰減率。
• 對 $\sum \mu(i)$ 與 $\sum \prod_{k=0}^i e^{-\kappa \varepsilon_k}$ 應用收斂性測試，以判斷遞迴類型。

实验结果

研究问题

• RQ1 狀態相關（1,2）反射隨機遊走於何種條件下為正遞迴？
• RQ2 當過渡機率逼近零遞迴邊界時，穩態分佈的尾部行為如何？
• RQ3 在「近臨界」區域中，當 $p_1(i) + 2p_2(i) \to q(i)$ 時，$\pi(i)$ 的精確漸近衰減率為何？
• RQ4 $\sum \varepsilon_i$ 與 $\sum \varepsilon_i^p$ 的收斂性如何影響遞迴分類？
• RQ5 當 $\varepsilon_i \to 0$ 時，正遞迴與零遞迴的邊界由何決定？

主要发现

• 靜態測度 $\mu(i)$ 以明確形式給出：$\mu(i) = \frac{1}{q(i)} \alpha M_1 \cdots M_{i-1} e_1^\prime$，其中 $M_i$ 個別編碼狀態相關的過渡結構。
• 正遞迴成立當且僅當 $\sum_{i=0}^\infty \mu(i) < \infty$，此條件取決於 $\sum \prod_{k=0}^i e^{-\kappa \varepsilon_k}$ 的收斂性，其中 $\kappa = \frac{4}{q}$。
• 在正遞迴情況下，穩態分佈的尾部滿足 $\log \pi(i) \sim -\kappa \sum_{k=0}^i \varepsilon_k$ 當 $i \to \infty$，顯示為拉長指數衰減。
• 當 $\varepsilon_i = C i^{-\alpha}$ 時，若 $\alpha > 1/2$ 且 $C\kappa > 1$（當 $\alpha = 1$ 時），或 $\alpha > 1$（當 $\alpha < 1$ 時），則過程為正遞迴。
• 當 $\sum \varepsilon_i < \infty$ 時，即使所有 $P(i) \in D$，遊走仍為零遞迴，顯示遞迴類型對逼近邊界的速率極為敏感。
• 遞迴的臨界閾值由 $\sum \prod_{k=0}^i e^{-\kappa \varepsilon_k}$ 的收斂性決定，此條件主導靜態測度是否可 summable。