[论文解读] Tail measure and tail spectral process of regularly varying time series

Clément Dombry|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文在抽象框架下建立了重尾时间序列的尾测度与谱尾过程之间的一一对应关系，证明了任意平移不变齐次测度均可通过泊松点过程构造，成为平稳、重尾时间序列的尾测度。核心贡献在于对这两种对象之间联系的严格刻画，推广了极值稳定过程的结果，并通过随机表示和最大指数方法扩展了时间变换公式。

ABSTRACT

The goal of this paper is an exhaustive investigation of the link between the tail measure of a regularly varying time series and its spectral tail process, independently introduced in Owada and Samorodnitsky (2012) and Basrak and Segers (2009). Our main result is to prove in an abstract framework that there is a one to one correspondance between these two objets, and given one of them to show that it is always possible to build a time series of which it will be the tail measure or the spectral tail process. For non negative time series, we recover results explicitly or implicitly known in the theory of max-stable processes.

研究动机与目标

• 解决重尾时间序列的尾测度与谱尾过程之间是否存在一一对应关系的根本问题。
• 为抽象完备可分度量空间上的尾测度提供一个通用框架，重点关注齐次性和平移不变性。
• 刻画尾测度的发散表示与最大指数表示的存在性，推广极值指数概念。
• 通过泊松点过程，从任意给定的平移不变齐次尾测度构造一个平稳的重尾时间序列。
• 将时间变换公式推广至一般抽象设定，并通过随机表示与谱尾过程建立联系。

提出的方法

• 将尾测度定义为序列空间上的齐次、平移不变测度，仅使用测度论工具，不依赖概率渐近分析。
• 引入“倾斜平移公式”作为时间变换公式的推广，将谱尾过程与尾测度的随机表示联系起来。
• 通过定理2.9，建立平移不变尾测度、其随机表示与谱尾过程之间的一一对应关系。
• 利用M0收敛性及抽象度量空间上泊松点过程的正则变异性，从给定尾测度构造时间序列。
• 应用随机测度收敛理论（Kallenberg, 2017）与正则变异性理论（Hult和Lindskog, 2006），确保分布收敛性。
• 将最大指数定义为极值指数的推广，证明其与所构造时间序列的极值指数一致，从而为尾部相依性提供新表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 重尾时间序列的尾测度与谱尾过程之间是否存在一一对应关系？
• RQ2 任意平移不变齐次测度是否都能作为平稳重尾时间序列的尾测度实现？
• RQ3 在抽象设定下，谱尾过程的时间变换公式是否可由尾测度的平移不变性导出？
• RQ4 在何种条件下，尾测度的发散表示存在？其与混合移动平均表示有何关联？
• RQ5 尾测度的最大指数是否可解释为对应时间序列的极值指数？

主要发现

• 本文通过定理2.9证明了平移不变齐次尾测度、其随机表示与谱尾过程之间存在一一对应关系，建立了完整的对偶性。
• 任意指数α > 0的平移不变齐次测度ν，均可通过在抽象度量空间上构造泊松点过程，实现为平稳重尾时间序列的尾测度。
• 谱尾过程的时间变换公式被证明是尾测度平移不变性的直接推论，推广了极值稳定过程的已知结果。
• 作为极值指数的推广，最大指数被证明与所构造时间序列的极值指数一致，为尾部相依性提供了新表征。
• 当且仅当测度可通过泊松簇过程表示时，尾测度的发散表示存在，从而与极值稳定过程的混合移动平均构造建立联系。
• 通过泊松点过程的拉普拉斯泛函收敛性，证明了经验测度弱收敛至极限尾测度，确保了构造的有效性。