[论文解读] Étale groupoids and their $C^*$-algebras

Aidan Sims|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 35

一句话总结

本文提供了关于紧致哈斯多夫拓扑群胚的 $C^*$-代数理论的简明导论，聚焦于其结构、分类以及与卡特兰对和迪克西梅耶-道伊西理论的联系。它建立了一个上同调不变量 $\delta(A) \in H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$，该不变量在莫里塔等价意义下对费尔代数进行分类，推广了连续迹情形下的经典迪克西梅耶-道伊西不变量。

ABSTRACT

These notes were written as supplementary material for a five-hour lecture series presented at the Centre de Recerca Mathemàtica at the Universitat Autònoma de Barcelona from the 13th to the 17th of March 2017. The intention of these notes is to give a brief overview of some key topics in the area of $C^*$-algebras associated to étale groupoids. The scope has been deliberately contained to the case of étale groupoids with the intention that much of the representation-theoretic technology and measure-theoretic analysis required to handle general groupoids can be suppressed in this simpler setting. A published version of these notes will appear in the volume tentatively titled "Operator algebras and dynamics: groupoids, crossed products and Rokhlin dimension" by Gabor Szabo, Dana P. Williams and myself, and edited by Francesc Perera, in the series "Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona." The pagination of this arXiv version is not identical to Birkhäuser's style, but I have tried to make it close. The theorem numbering should be correct. I'm grateful to the CRM and Birkhäuser for allowing me to post a version on arXiv.

研究动机与目标

• 开发一个简明的、基于表示论的最小化框架，用于研究埃莱特群胚的 $C^*$-代数。
• 通过上同调不变量 $\delta(A)$ 在 $H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$ 中建立费尔代数的分类定理。
• 通过扭和层上同调，将迪克西梅耶-道伊西理论推广至费尔代数。
• 阐明群胚 $C^*$-代数、卡特兰子代数与谱不变量之间的关系。

提出的方法

• 通过卷积代数和群胚表示构造埃莱特群胚的全 $C^*$-代数与约化 $C^*$-代数。
• 利用群胚扩张上 $\mathbb{T}$-作用的拉回，定义等价关系上的扭。
• 引入拓扑等价关系 $R$ 上的扭的同构类的群 $\mathrm{Tw}_R$，其运算为纤维积。
• 对于一个费尔代数 $A$，利用谱的层上同调构造同态 $\rho_R: \mathrm{Tw}_R \to H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$。
• 将不变量 $\delta(A)$ 定义为在 $\rho_R$ 下，与卡特兰对相关联的扭的像，且该定义与卡特兰对构造的选择无关。
• 利用雷伯恩–泰勒构造方法，将 $H^2(X, \mathcal{S})$ 中的任意类实现为某个局部局部紧致、局部豪斯多夫空间 $X$ 上的费尔代数的不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在最小化分析与表示论开销的前提下构造埃莱特群胚的 $C^*$-代数？
• RQ2 扭与层上同调在分类费尔代数中扮演何种角色？
• RQ3 不变量 $\delta(A)$ 与连续迹情形下的经典迪克西梅耶-道伊西不变量有何关系？
• RQ4 在何种条件下，一个 $C^*$-代数可通过谱与上同调数据与另一个代数莫里塔等价？
• RQ5 对于给定的局部局部紧致、局部豪斯多夫空间 $X$，$H^2(X, \mathcal{S})$ 中的任意类是否都能实现为某个费尔代数的不变量？

主要发现

• 拓扑等价关系 $R$ 上的扭的同构类在纤维积运算下构成一个阿贝尔群 $\mathrm{Tw}_R$。
• 存在一个同态 $\rho_R: \mathrm{Tw}_R \to H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$，将每个扭映射到费尔代数 $A$ 的谱的层上同调中的一个上同调类。
• 不变量 $\delta(A) \in H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$ 是良定义的，且与卡特兰对构造的选择无关。
• 两个费尔代数 $A$ 与 $A'$ 莫里塔等价，当且仅当存在一个同胚 $\widehat{A} \to \widehat{A'}$，使得其诱导的上同调群同构将 $\delta(A)$ 映射到 $\delta(A')$。
• 对于任意局部局部紧致、局部豪斯多夫空间 $X$ 以及任意 $\delta \in H^2(X, \mathcal{S})$，存在一个费尔代数 $A$，使得 $\widehat{A} \cong X$ 且 $\delta(A) = \delta$。
• 此类代数的构造通过雷伯恩–泰勒方法实现，利用上同调上链定义一个适当群胚上的扭。