[论文解读] Tamarkin's construction is equivariant with respect to the action of the Grothendieck-Teichmueller group

Vasily Dolgushev, Brian Paljug|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文证明了塔马克林的构造——将德林费尔德关联器映射到多项式代数上多向量场与霍赫希尔德上循环的 $L_∞$ 同构类的映射——在格罗滕迪克-泰希米勒群 $\mathsf{GRT}_1$ 作用下是等变的。利用文献 [22] 中的结果，作者证明了该映射在源（德林费尔德关联器）与目标（$L_\infty$-同构类）上的 $\mathsf{GRT}_1$-作用下保持不变，从而证实了文献中此前被断言但未被证明的陈述。

ABSTRACT

Recall that Tamarkin's construction arXiv:math/9803025, arXiv:math/0003052 gives us a map from the set of Drinfeld associators to the set of homotopy classes of L-infinity quasi-isomorphisms for Hochschild cochains of a polynomial algebra. Due to results of V. Drinfeld (Algebra i Analiz 2, (1990)) and T. Willwacher arXiv:1009.1654 both the source and the target of this map are equipped with natural actions of the Grothendieck-Teichmueller group $GRT_1$. In this paper, we use the result from arXiv:1305.4699 to prove that this map from the set of Drinfeld associators to the set of homotopy classes of L-infinity quasi-isomorphisms for Hochschild cochains is $GRT_1$-equivariant.

研究动机与目标

• 严格证明塔马克林构造的 $\mathsf{GRT}_1$-等变性，该性质此前被描述为“显而易见”但缺乏详细证明。
• 澄清并形式化 $\mathsf{GRT}_1$ 在德林费尔德关联器集合以及霍赫希尔德上循环与多向量场之间的 $L_\infty$-同构类集合上的作用。
• 将塔马克林的构造推广至分次仿射空间的情形，推广经典仿射空间情形下的结果。
• 提供等变性陈述的完整且自包含的证明，填补了尽管在专家中广泛接受但文献中长期存在的空白。

提出的方法

• 作者利用文献 [22] 中的定理 4.3，通过分析 $\infty$-同构与同伦类上的作用，证明了塔马克林映射的 $\mathsf{GRT}_1$-等变性。
• 他们通过德林费尔德关联器上的简单传递作用定义并分析了源上的 $\mathsf{GRT}_1$-作用，通过威勒彻的构造定义了目标上 $\pi_0(\mathsf{Ger}_\infty \to \mathsf{Braces})$ 的 $\mathsf{GRT}_1$-作用。
• 证明依赖于 $\mathsf{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom})$ 操作代数的结构，以及其微分分次李代数的导子中低度元素的消失性。
• 作者通过塔马克林的构造和小圆盘操作代数的典范性，构建了一个从德林费尔德关联器到 $L_\infty$-同构类的映射 $\mathfrak{B}$。
• 通过结合中间映射的等变性与已知作用，验证了从德林费尔德关联器到 $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$ 的映射是 $\mathsf{GRT}_1$-等变的。
• 技术工具包括滤子化的 $\Lambda^{-1}\mathsf{Lie}_\infty$-代数与卷积代数，用于控制梅尔卡托-卡特兰元素与同伦。

实验结果

研究问题

• RQ1 塔马克林的构造——将德林费尔德关联器映射到霍赫希尔德上循环的 $L_\infty$-同构类——在 $\mathsf{GRT}_1$ 作用下是否等变？
• RQ2 在塔马克林的构造下，$\mathsf{GRT}_1$-作用在源（德林费尔德关联器）与目标（$L_\infty$-同构类）之间如何相互作用？
• RQ3 能否利用 $\infty$-同构与 $\mathsf{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom})$ 操作代数的框架，严格建立塔马克林构造的等变性？
• RQ4 小圆盘操作代数的典范性、塔马克林的构造与 $\mathsf{GRT}_1$-作用在霍赫希尔德上循环上的关系是什么？
• RQ5 在塔马克林映射的目标上，$\mathsf{GRT}_1$-作用是否保持由给定关联器诱导的同伦类的同构？

主要发现

• 从 $\mathsf{Ger}_\infty$-到-$\mathsf{Braces}$ 同构类的映射 $\mathfrak{T}$ 到霍赫希尔德上循环与多向量场之间的 $L_\infty$-同构类的映射是 $\mathsf{GRT}_1$-等变的。
• $\mathsf{GRT}_1$-作用在目标空间 $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$ 上由威勒彻的构造诱导，且与塔马克林的映射相容。
• $\mathsf{GRT}_1$-作用在源上，即德林费尔德关联器的集合，是简单传递的，且该作用通过塔马克林的构造一致地提升到目标。
• 关键技术输入是文献 [22] 中的定理 4.3，它确保了 $\mathsf{GRT}_1$-作用在 $\infty$-同构上是良好定义的，并与同构类的同伦类型相容。
• 作者证明了导子代数 $\mathrm{Der}'(\mathrm{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom}))$ 在度数 $\leq 0$ 上无非零元素，这对等变性证明至关重要。
• 最终从德林费尔德关联器到 $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$ 的映射 $\mathfrak{B}$ 被证明是 $\mathsf{GRT}_1$-等变的，从而确认了文献中长期存在的期望。