[论文解读] Tamed Symplectic forms and SKT metrics

Nicola Enrietti, Anna Fino+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用 10

一句话总结

该论文证明，具有不变复结构的非环面尼尔曼流形不具有能控制复结构的辛形式，且此类流形仅当为2步幂零时才允许SKT度量。作者对具有不变复结构的8维尼尔曼流形中存在SKT度量的情形进行了分类，表明SKT条件对李代数结构施加了强烈的代数约束，特别是通过基本形式的$̅\partial\overline{\partial}$-闭性条件。

ABSTRACT

Symplectic forms taming complex structures on compact manifolds are strictly related to Hermitian metrics having the fundamental form $\partial \bar \partial $-closed, i.e. to strong Kähler with torsion (${ m SKT}$) metrics. It is still an open problem to exhibit a compact example of a complex manifold having a tamed symplectic structure but non-admitting Kähler structures. We show some negative results for the existence of symplectic forms taming complex structures on compact quotients of Lie groups by discrete subgroups. In particular, we prove that if $M$ is a nilmanifold (not a torus) endowed with an invariant complex structure $J$, then $(M, J)$ does not admit any symplectic form taming $J$. Moreover, we show that if a nilmanifold $M$ endowed with an invariant complex structure $J$ admits an ${ m SKT}$ metric, then $M$ is at most 2-step. As a consequence we classify 8-dimensional nilmanifolds endowed with an invariant complex structure admitting an SKT metric.

研究动机与目标

• 研究通过离散子群作用于李群的紧致商流形上是否存在能控制复结构的辛形式。
• 确定此类流形存在SKT（带 torsion 的强凯勒）度量的条件。
• 对具有不变复结构的8维尼尔曼流形中存在SKT度量的情形进行分类。
• 通过基本形式的$̅\partial\overline{\partial}$-闭性条件，建立尼尔曼流形上Hermitian-辛结构的障碍。

提出的方法

• 证明Hermitian-辛结构存在的充要条件是基本形式$ω$满足$\partial\omega = \overline{\partial}\beta$，其中$\beta$为某$\partial$-闭的$(2,0)$-形式，从而提供一个上同调障碍。
• 利用李群上的不变结构，将问题约化至李代数层面，重点关注幂零和可解李代数。
• 分析具有复结构的8维幂零李代数的结构方程，以确定SKT条件$\partial\overline{\partial}\omega = 0$成立的条件。
• 应用2步幂零李代数的分类，并利用尼尔曼流形上SKT度量要求李代数为2步幂零的事实。
• 通过结构常数与Hermitian度量分量的显式计算，推导SKT方程的必要与充分条件。
• 利用已知的尼尔曼流形中HKT与SKT结构的结果，比较和对比这些几何结构的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不变复结构的非环面子流形能否存在能控制复结构的辛形式？
• RQ2 尼尔曼流形的李代数需满足何种代数条件，才能保证SKT度量的存在？
• RQ3 是否存在具有不变复结构的8维尼尔曼流形，其存在SKT度量？若存在，如何对其进行分类？
• RQ4 尼尔曼流形上的SKT条件是否意味着其基础李代数为2步幂零？
• RQ5 Hermitian-辛结构的存在性与基本形式的$\partial\overline{\partial}$-闭性之间有何关系？

主要发现

• 通过中心与交换子代数之间的障碍，证明任何具有不变复结构的非环面子流形均不具有能控制复结构的辛形式。
• 仅当其基础李代数为2步幂零时，8维尼尔曼流形才可能具有不变复结构并存在SKT度量。
• 作者对所有具有不变复结构并存在SKT度量的8维尼尔曼流形进行了分类，识别出它们为Heisenberg型代数的扩张。
• 对于第一类8维李代数，SKT方程并非对所有Hermitian度量自动满足，表明该条件具有非平凡性。
• $\mathfrak{h}_5 \oplus \mathbb{R}^3$代数具有弱HKT结构但无SKT结构，而$\mathfrak{h}_3^\mathbb{C} \oplus \mathbb{R}^2$与$\mathfrak{h}_7^Q \oplus \mathbb{R}$则同时具有SKT与弱HKT结构。
• 尼尔曼流形上的SKT条件仅依赖于复结构与李代数结构，而不依赖于Hermitian度量的选择，这由SKT方程在结构常数形式下的表达式所表明。