[论文解读] Tangential dimensions II. Measures

Daniele Guido, Tommaso Isola|ArXiv.org|May 10, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文引入了在 $ℝ^N$ 上的测度的切向维数作为检测分形行为中局部振荡的工具，通过在体积加倍条件下定义切测度的局部维数的上确界和下确界，定义了上切向维数和下切向维数。主要贡献在于这些维数精确捕捉了多重分形振荡，并在平移分形上与度量和非交换切向维数一致，即使上、下维数之间存在差异，它们在所有点上仍为常数。

ABSTRACT

Notions of (pointwise) tangential dimension are considered, for measures of R^n. Under regularity conditions (volume doubling), the upper resp. lower dimension at a point x of a measure can be defined as the supremum, resp. infimum, of local dimensions of the measures tangent to the given measure at x. Our main purpose is that of introducing a tool which is very sensitive to the "multifractal behaviour at a point" of a measure, namely which is able to detect the "oscillations" of the dimension at a given point, even when the local dimension exists, namely local upper and lower dimensions coincide. These definitions are tested on a class of fractals, which we call translation fractals, where they can be explicitly calculated for the canonical limit measure. In these cases the tangential dimensions of the limit measure coincide with the metric tangential dimensions of the fractal defined in math.FA/0305091, and they are constant, i.e. do not depend on the point. However, upper and lower dimensions may differ. Moreover, on these fractals, these quantities coincide with their noncommutative analogues, defined in math.OA/0202108 and math.OA/0404295, in the framework of Alain Connes' noncommutative geometry.

研究动机与目标

• 开发一种对测度分形行为中局部振荡敏感的维数理论，特别是在局部维数不收敛时。
• 在一点处通过切测度的局部维数的上确界和下确界，定义测度的上切向维数和下切向维数。
• 建立测度的切向维数与底层度量空间的维数以及非交换几何对应量一致的条件。
• 显式计算平移分形上典型极限测度的这些维数，其在所有点上为常数，并与已知的几何和谱不变量一致。

提出的方法

• 通过嵌套球体内测度质量的迭代对数比值定义上切向维数和下切向维数：$\underline{\delta}_{\mu}(x) = \liminf_{\lambda\to 0} \liminf_{r\to 0} \frac{\log(\mu(B(x,r))/\mu(B(x,\lambda r)))}{\log 1/\lambda}$。
• 引入函数 $f(t) = -\log \mu(B(x,e^{-t}))$，并将切向维数用差值 $g(t,h) = f(t+h) - f(t)$ 表示，从而通过渐近增长速率进行分析。
• 在体积加倍条件下，建立切向维数与切测度局部维数之间的等价性。
• 利用平移分形的框架——满足开集条件的自相似集——其中典型极限测度满足所需正则性，从而实现显式计算。
• 将切向维数与非交换几何中的谱三元组不变量联系起来，证明其与 [5,6] 中的结果完全一致。
• 对表示第 $n$ 层测度质量 $P_n$ 和尺度 $Λ_n$ 的序列 $P_n$ 和 $Λ_n$ 应用渐近分析，推导出上局部维数和下局部维数作为 $\log P_n / \log 1/\Lambda_n$ 的 liminf/limsup 表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使局部维数存在，切向维数能否检测测度局部维数的振荡行为？
• RQ2 在何种条件下，测度的切向维数与底层度量空间的维数一致？
• RQ3 平移分形上典型极限测度的切向维数是否与其非交换几何对应量一致？
• RQ4 测度的切向维数与其中切测度的局部维数之间存在何种精确关系？
• RQ5 在平移分形上，切向维数的行为如何？它们在所有点上是否为常数？

主要发现

• 在满足开集条件的平移分形上，典型极限测度的切向维数在所有点上为常数，且等于分形的度量切向维数。
• 尽管测度的上切向维数和下切向维数为常数，但二者可能不同，反映出局部维数的振荡行为。
• 对于平移分形，切向维数与 [5,6] 中通过谱三元组计算的非交换切向维数一致，建立了几何分析与非交换分析之间的桥梁。
• 在体积加倍条件下，测度的上切向维数和下切向维数等价于其切测度局部维数的上确界和下确界。
• 局部维数 $\underline{d}_\mu(x)$ 和 $\overline{d}_\mu(x)$ 分别由 $\liminf_{n\to\infty} \frac{\log P_n}{\log 1/\Lambda_n}$ 和 $\limsup_{n\to\infty} \frac{\log P_n}{\log 1/\Lambda_n}$ 给出，其中 $P_n$ 为尺度 $\Lambda_n$ 处的测度质量。
• Hausdorff 维数 $d_H(F)$ 等于 $\underline{d}_\mu(x)$ 当且仅当 $\liminf(\log P_n - d_H(F) \log 1/\Lambda_n)$ 为有限值，将切向维数与非平凡 Hausdorff 测度的存在性联系起来。