[论文解读] Taxonomization of Combinatorial Optimization Problems in Fourier Space

Anne Elorza, Leticia Hernando+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2019

Metaheuristic Optimization Algorithms Research参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于傅里叶的新型框架，通过在对称群上使用广义傅里叶变换，对基于排列的组合优化问题进行分析，将目标函数进行分解。该框架刻画了TSP、LOP和QAP的傅里叶系数，实现了傅里叶域中的统一表示，并为基于算法行为的问题实例分类体系奠定了基础。

ABSTRACT

We propose and develop a novel framework for analyzing permutation-based combinatorial optimization problems, which could eventually be extended to other types of problems. Our approach is based on the decomposition of the objective functions via the generalized Fourier transform. We characterize the Fourier coefficients of three different problems: the Traveling Salesman Problem, the Linear Ordering Problem and the Quadratic Assignment Problem. This implies that these three problems can be viewed in a homogeneous space, such as the Fourier domain. Our final target would be to create a taxonomy of problem instances, so that functions which are treated similarly under the same search algorithms are grouped together. For this purpose, we simplify the representations of the objective functions by considering them as permutations of the elements of the search space, and study the permutations that are associated with different problems.

研究动机与目标

• 通过在对称群上使用傅里叶分析，为基于排列的组合优化问题开发统一的分析框架。
• 刻画三种典型问题（TSP、LOP和QAP）的傅里叶系数，揭示其目标函数中的结构不变性。
• 基于傅里叶表示，通过将具有相似算法行为的函数进行分组，实现问题实例的分类。
• 将实值目标函数简化为排序（排列），在保留算法行为的同时降低复杂度。
• 利用对偶定理，建立给定排序（排列）可由具有特定傅里叶系数的函数生成的条件。

提出的方法

• 将组合优化问题的目标函数表示为对称群 S_n 上的函数，采用基于排列的表示方法。
• 在对称群上应用广义傅里叶变换，将目标函数分解为不可约表示的和。
• 利用傅里叶分解，将函数表示为基函数 f_λ 的线性组合，其系数为 a_λ，从而实现代数操作。
• 将生成给定排序 τ 的问题转化为求解系统 F a > 0，其中 F 是基函数成对差值构成的矩阵。
• 应用戈兰德的替代定理以确定解的存在性：当且仅当 F^T v = 0 无非负非零解 v 时，具有指定傅里叶系数的函数 f 才能生成 τ。
• 采用矩阵代数与对偶性，检验从指定非平凡傅里叶系数集合构造具有给定排序的函数的可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义傅里叶变换，在傅里叶域中系统地刻画TSP、LOP和QAP目标函数的特性？
• RQ2 为使函数生成给定的解排序，其傅里叶系数必须满足哪些特定约束？
• RQ3 是否可以确定，给定的排列排序能否由具有指定非平凡傅里叶系数集合的函数实现？
• RQ4 系统 F a > 0 的维数随问题规模 n 如何变化？该方法的计算极限是什么？
• RQ5 该框架是否能基于共享的傅里叶系数结构与算法行为，实现对组合优化问题的分类？

主要发现

• TSP、LOP和QAP目标函数的傅里叶系数满足特定的结构约束，使其能够在同一傅里叶域中表示。
• 当 n=4 时，若函数 f 的 (1,1,1,1) 系数为零，则其能生成给定排序 τ 当且仅当系统 F^T v = 0 无非负非零解 v。
• 从给定傅里叶系数集合生成排序 τ 的可行性，可简化为使用戈兰德替代定理检验线性系统的可解性。
• 当 n 增大时，该方法在计算上变得不可行，因为系统规模增长为 (n!)! - 1，其维度 m × k = (n!)! - 1 × ∑d_λ²，当 n=5 时达到 119 × 77。
• F^T v = 0 的解空间维数为 m - k，其增长迅速，即使在剔除复数解后也难以控制。
• 尽管存在复杂性，该框架仍为基于共享傅里叶系数模式对问题实例进行分组提供了理论基础，从而可依据结构相似性进行算法选择。