[论文解读] Technical Report: Convex Optimization of Nonlinear Feedback Controllers via Occupation Measures

Anirudha Majumdar, Ram Vasudevan+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 32被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种凸优化框架，用于设计非线性反馈控制器，以在多项式动力系统中最大化有限时间后向可到达集（BRS）的大小。通过将控制综合问题表述为关于占用测度的无限维线性规划（LP），并求解有限维半定规划（SDP）松弛问题，该方法无需初始化即可获得多项式控制律和最大BRS的外逼近，提供了一种全局收敛的凸替代方案，避免了传统非凸李雅普诺夫方法的非凸性和初始化依赖性。

ABSTRACT

In this paper, we present an approach for designing feedback controllers for polynomial systems that maximize the size of the time-limited backwards reachable set (BRS). We rely on the notion of occupation measures to pose the synthesis problem as an infinite dimensional linear program (LP) and provide finite dimensional approximations of this LP in terms of semidefinite programs (SDPs). The solution to each SDP yields a polynomial control policy and an outer approximation of the largest achievable BRS. In contrast to traditional Lyapunov based approaches which are non-convex and require feasible initialization, our approach is convex and does not require any form of initialization. The resulting time-varying controllers and approximated reachable sets are well-suited for use in a trajectory library or feedback motion planning algorithm. We demonstrate the efficacy and scalability of our approach on five nonlinear systems.

研究动机与目标

• 解决在输入饱和条件下，对欠驱动非线性机器人系统设计反馈控制器的挑战，其中传统线性化或李雅普诺夫方法失效或需要初始化。
• 最大化有限时间后向可到达集（BRS）的大小，即在有限时间内可通过有效控制输入到达目标集的初始状态集合。
• 开发一种凸的、全局收敛的反馈控制器综合方法，避免标准李雅普诺夫方法中常见的非凸性和初始化依赖性。
• 通过生成能稳定大范围初始条件的控制器，实现可扩展且鲁棒的反馈运动规划，可能取代局部线性控制器库。
• 通过半定规划（SDP）提供有限维逼近，其收敛性保证了渐近无保守性。

提出的方法

• 将控制综合问题表述为在非负占用测度空间上的无限维线性规划（LP），以表示轨迹在状态和控制空间中的分布。
• 通过矩逼近和平方和（SOS）技术，将无限维LP松弛为一系列有限维半定规划（SDP）。
• SDP解提供多项式反馈控制律和最大可达BRS的外逼近，通过弱收敛和渐近无保守性实现收敛保证。
• 通过有理参数化和提升技术处理动力学中的三角函数和非线性项，以保持多项式结构。
• 无限维LP的对偶问题通过非负连续函数证明某些集合无法到达目标，从而实现BRS的外逼近。
• 该方法使用LMI求解器实现，并在五个非线性系统上进行了验证，包括一个平面四旋翼飞行器和卫星姿态控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种凸优化框架，用于设计非线性反馈控制器，以在无需可行初始化的情况下最大化有限时间后向可到达集（BRS）的大小？
• RQ2 如何利用占用测度将非凸的反馈控制综合问题转化为凸的无限维LP？
• RQ3 针对无限维LP的有限维SDP松弛，其在保守性和弱收敛性方面的收敛性保证为何？
• RQ4 该方法在反馈运动规划中，通过单个非线性控制器稳定更大范围初始条件，能在多大程度上取代局部线性控制器库？
• RQ5 该方法在具有输入饱和的高维非线性系统（如6D卫星姿态控制）上的可扩展性如何？

主要发现

• 该方法成功计算了五个非线性系统的多项式反馈控制器和最大BRS的外逼近，包括一个平面四旋翼飞行器和一个6D卫星姿态控制系统的例子。
• 对于平面四旋翼飞行器，当$ k=2 $时，SDP求解耗时49分钟，成功在4秒时间窗内稳定了大量初始条件。
• 对于卫星姿态控制示例，当$ k=3 $时，求解约需6小时，实现了从超平面上采样初始条件的稳定；而$ k=2 $时仅耗时5分钟，但结果略显保守。
• 建立了理论收敛保证：每个SDP解均提供BRS的外逼近，且保守性渐近消失；解序列的子序列弱收敛于最优无限维LP解。
• 与传统李雅普诺夫方法相比，该方法具有凸性和无初始化特性，实现了BRS的全局优化，避免了双线性交替或陷入局部最优的风险。
• 该方法可将多个局部线性控制器替换为单个全局有效的非线性控制器，显著减少了反馈运动规划库中所需的轨迹数量。