[论文解读] Teichmuller distance for some polynomial-like maps

Eduardo A. Prado|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文通过利用其 Julia 集中的双曲集并应用非线性解析系统中的 Sullivan 刚性定理，证明了广义多项式类似映射类中——具体而言是临界点外双曲映射——Teichmüller 距离是一个明确定义的度量。关键结果表明，对于此类映射，最大熵测度的 Hausdorff 维数严格小于 Julia 集的维数，除非是切比雪夫多项式，从而将 Zdunik 的结果从多项式情形推广至更广的范围。

ABSTRACT

In this work we will show that the Teichmüller distance for all elements of a certain class of generalized polynomial-like maps (the class of off-critically hyperbolic generalized polynomial-like maps) is actually a distance, as in the case of real polynomials with connected Julia set, as studied by Sullivan. This class contains several important classes of generalized polynomial-like maps, namely: Yoccoz, Lyubich, Sullivan and Fibonacci. In our proof we can not use external arguments (like external classes). Instead we use hyperbolic sets inside the Julia sets of our maps. Those hyperbolic sets will allow us to use our main analytic tool, namely Sullivan's rigidity Theorem for non-linear analytic hyperbolic systems. Lyubich has constructed a measure of maximal entropy measure $m$ on the Julia set of any rational function $f$. Zdunik classified exactly when the Hausdorff dimension of $m$ equals the Hausdorff dimension of the Julia set. We show that the strict inequality holds if $f$ is off-crititcally hyperbolic, except for Chebyshev polynomials. This result is a particular case of Zdunik's result if we consider $f$ as a polynomial, but is an extension of Zdunik's result if $f$ is a generalized polynomial-like map. The proof follows from the non-existence of invariant affine structure.

研究动机与目标

• 建立 Teichmüller 距离对一类广义多项式类似映射具有有效度量性质。
• 将 Zdunik 关于最大熵测度 Hausdorff 维数的结果推广至非多项式广义多项式类似映射。
• 证明最大熵测度的 Hausdorff 维数与 Julia 集之间严格不等式成立，但切比雪夫多项式除外。
• 通过利用双曲集等内在动力学结构，避免依赖外部类或外部类。

提出的方法

• 以映射 Julia 集中的双曲集作为分析的结构基础。
• 应用非线性解析双曲系统中的 Sullivan 刚性定理，以确立 Teichmüller 极值映射的唯一性。
• 采用 Lyubich 对有理函数 Julia 集上最大熵测度的构造方法。
• 分析不变仿射结构的不存在性，以推导刚性性质。
• 将不变仿射结构的缺失作为关键分析工具，以排除 Teichmüller 空间中的退化情形。
• 依赖映射的内在动力学，而非外部几何或共形类。

实验结果

研究问题

• RQ1 Teichmüller 距离是否是临界点外双曲广义多项式类似映射的明确定义度量？
• RQ2 对于此类映射，最大熵测度的 Hausdorff 维数是否严格小于 Julia 集的维数，但切比雪夫多项式除外？
• RQ3 是否可以在不依赖外部类或外部类的前提下，确立 Teichmüller 度量的刚性？
• RQ4 Sullivan 刚性定理在非多项式广义多项式类似映射中适用范围如何？
• RQ5 不变仿射结构的存在性与该类映射中 Teichmüller 距离之间存在何种关系？

主要发现

• Teichmüller 距离对所有临界点外双曲广义多项式类似映射（包括 Yoccoz、Lyubich、Sullivan 和 Fibonacci 型映射）均为有效度量。
• 对于所有此类映射，最大熵测度的 Hausdorff 维数严格小于 Julia 集的维数，但切比雪夫多项式除外。
• 通过所研究动力系统中不变仿射结构的不存在性，确立了 Hausdorff 维数的严格不等式。
• 该结果将 Zdunik 定理从多项式映射推广至更广的广义多项式类似映射类。
• 证明依赖于内在动力结构——双曲集——而非外部几何或共形不变量。
• 通过利用内在双曲动力学和仿射结构的缺失，成功将 Sullivan 刚性定理应用于非多项式映射。