[论文解读] Tension Bounds for Information Complexity

Manoj Prabhakaran, Vinod M. Prabhakaran|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了一种信息复杂度与“张力”之间的新颖联系——张力是一种与协议无关的信息理论相关性度量。通过利用张力，作者推导出信息复杂度的更紧下界，尤其针对输入独立的函数，并在通信复杂度和密码学复杂度方面，实现了对先前基于分歧的界限的定量改进。

ABSTRACT

The main contribution of this work is to relate information complexity to "tension" [Prabhakaran and Prabhakaran, 2014] - an information-theoretic quantity defined with no reference to protocols - and to illustrate that it allows deriving strong lower-bounds on information complexity. In particular, we use a very special case of this connection to give a quantitatively tighter connection between information complexity and discrepancy than the one in the work of Braverman and Weinstein (2012) (albeit, restricted to independent inputs). Further, as tension is in fact a multi-dimensional notion, it enables us to bound the 2-dimensional region that represents the trade-off between the amounts of communication in the two directions in a 2-party protocol. This work is also intended to highlight tension as a fundamental measure of correlation between a pair of random variables, with rich connections to a variety of questions in computer science and information theory.

研究动机与目标

• 建立信息复杂度与张力之间的正式联系，张力是一种不依赖于协议的基本相关性度量。
• 证明张力能够提供比现有方法更强的信息复杂度下界。
• 表明张力的多维特性可用来界定两方协议中双向通信的权衡。
• 强调张力作为信息论中的基础工具，对通信复杂度和密码学具有广泛影响。
• 提供一个框架，通过互信息与公共信息之间的差距，推导出更紧的信息复杂度界限。

提出的方法

• 将张力定义为互信息与公共信息之差，采用Gács-Körner和Wyner的公共信息概念。
• 利用输入-输出对 (X,Y) 和 (X,Z;Y,Z)，其中 Z=f(X,Y)，的张力区域来界定信息复杂度。
• 引入一个随机变量 R 将输入空间划分为矩形，以区分小矩形（概率 Pr < α）与大矩形。
• 应用一个引理，通过处于小矩形中的概率以及函数 f 的分歧 Δ，对互信息 I(XY;Q′) 进行下界估计。
• 设定 α = Δ/ε 以优化界限，当 ε·log(ε/Δ) = ω(1) 时，得到张力下界为 ε·log(ε/Δ) 阶。
• 利用张力对协议结构不变的特性，实现对信息复杂度的协议无关下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 张力作为一种与协议无关的相关性度量，能否用于推导出强的信息复杂度下界？
• RQ2 输入对 (X,Y) 与输出对 (X,Z;Y,Z) 之间的张力，如何与计算 f(X,Y)=Z 的信息复杂度相关联？
• RQ3 张力能否在独立输入情况下，提供比以往工作更紧密地连接信息复杂度与分歧的关系？
• RQ4 张力的多维特性在多大程度上可用于界定两方协议中的通信权衡？
• RQ5 在安全多方计算和密码学复杂度的背景下，高张力的操作意义是什么？

主要发现

• 本文证明了信息复杂度由输出对 (XZ;YZ) 的张力下界控制，具体为 T_Wyn(XZ;YZ) ≥ (2ε − Δ/α)/(1 − Δ/α) · (½ log(1/α) − 1) − 3。
• 当输入独立时，信息复杂度区域位于 (XZ;YZ) 的张力区域之内，从而可实现强下界。
• 通过设定 α = Δ/ε，当 ε·log(ε/Δ) = ω(1) 时，界限简化为 T_Wyn(XZ;YZ) ≥ ε·log(ε/Δ)·(1−o(1))，优于先前基于分歧的界限。
• 该方法在独立输入限制下，相较于 [BW12]，实现了信息复杂度与分歧之间更定量紧密的联系。
• 张力被证明是相关性的一个基本度量，在密码学复杂度和安全计算中具有操作意义。
• 该框架通过利用张力区域的多维结构，实现了对两方协议中二维通信权衡区域的界定。