[论文解读] A direct sum theorem in communication complexity via message compression

Rahul Jain, Jaikumar Radhakrishnan+1 more|ArXiv.org|Apr 12, 2003

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用 23

一句话总结

本文通过基于信息成本的新型消息压缩技术，建立了两方有界误差随机k轮通信协议的直接和定理。通过证明低信息成本协议可被压缩为通信量为O(kc)的确定性协议（其中c为信息成本），作者推导出f^m的通信复杂度下界为Ω(m(ε²/(2k))·Cₖ[ ],δ+2ε(f) − 2)，证明了多轮情形下信息成本的超可加性。

ABSTRACT

We prove lower bounds for the direct sum problem for two-party bounded error randomised multiple-round communication protocols. Our proofs use the notion of information cost of a protocol, as defined by Chakrabarti, Shi, Wirth and Yao and refined further by Bar-Yossef, Jayram, Kumar and Sivakumar. Our main technical result is a `compression' theorem saying that, for any probability distribution $μ$ over the inputs, a $k$-round private coin bounded error protocol for a function $f$ with information cost $c$ can be converted into a $k$-round deterministic protocol for $f$ with bounded distributional error and communication cost $O(kc)$. We prove this result using a substate theorem about relative entropy and a rejection sampling argument. Our direct sum result follows from this `compression' result via elementary information theoretic arguments. We also consider the direct sum problem in quantum communication. Using a probabilistic argument, we show that messages cannot be compressed in this manner even if they carry small information. Hence, new techniques may be necessary to tackle the direct sum problem in quantum communication.

研究动机与目标

• 在有界误差设定下，为k轮私有随机通信协议建立直接和定理。
• 使用信息成本作为核心工具，将消息压缩技术从单轮扩展到多轮协议。
• 研究基于信息成本的压缩是否可应用于量子通信协议。
• 为多轮设定下直接和问题的通信复杂度下界提供理论基础。

提出的方法

• 提出一个压缩定理：在输入分布μ上，信息成本为c的k轮私有随机协议可被转换为通信成本为O(kc)的k轮确定性协议，且分布误差有界。
• 利用相对熵的子态定理和拒绝采样论证实现压缩结果。
• 通过基本的信息论不等式，从压缩定理推导出直接和结果。
• 采用子空间上的酉不变测度和概率构造方法，分析量子测量算子的行为。
• 利用子空间上的集中不等式和并集界，证明大多数投影无法强投影到固定低维子空间。
• 利用哈尓测度在酉变换下的不变性，界定随机基选择中坏事件的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用信息成本作为工具，为k轮私有随机通信协议建立直接和性质？
• RQ2 是否可以将低信息成本的k轮协议压缩为通信成本与信息成本和轮数成比例的确定性协议？
• RQ3 相同的消息压缩技术是否可扩展到量子通信协议，其中信息成本可能不蕴含可压缩性？
• RQ4 在经典协议的压缩和直接和定理中，通信复杂度对轮数k的最优依赖关系是什么？
• RQ5 能否为同时性量子协议（特别是等式函数）证明直接和性质？

主要发现

• 在输入分布μ上，信息成本为c的k轮私有随机协议可被压缩为通信成本为O(kc)的k轮确定性协议，且在μ下误差不超过δ。
• k轮协议的直接和定理表明：R^k_δ(f^m) ≥ m·(ε²/(2k)·C^k[ ],δ+2ε(f) − 2)，确立了直接和下界中通信复杂度的超可加性。
• 压缩结果依赖于相对熵的子态定理和拒绝采样论证，以模拟私有随机协议为确定性协议。
• 对于量子通信，本文表明携带小信息的消息无法使用类似技术压缩，意味着量子直接和问题需要新方法。
• 对测量算子{M_ij}的概率构造确保：对于任意固定维数为d的子空间W，强投影到W的投影M_ij的比例在高概率下很小。
• 分析表明，在给定参数约束下，任何固定子空间强投影的投影数（≥3n/4）过多的概率小于1，从而证明了良好测量集合的存在性。