[论文解读] Tensor categorical foundations of algebraic geometry

Martin Brandenburg|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Algebraic structures and combinatorial models被引用 27

一句话总结

本文通过证明概形与代数堆栈可从其拟 coherent 线丛的张量范畴中重构，建立了代数几何的张量范畴基础。利用 cocomplete 张量范畴，它通过泛性质推广了经典构造——如仿射态射、投影嵌入、爆破与纤维积——揭示了模空间通过其泛性质与张量范畴相对应。

ABSTRACT

Tannaka duality and its extensions by Lurie, Schäppi et al. reveal that many schemes as well as algebraic stacks may be identified with their tensor categories of quasi-coherent sheaves. In this thesis we study constructions of cocomplete tensor categories (resp. cocontinuous tensor functors) which usually correspond to constructions of schemes (resp. their morphisms) in the case of quasi-coherent sheaves. This means to globalize the usual local-global algebraic geometry. For this we first have to develop basic commutative algebra in an arbitrary cocomplete tensor category. We then discuss tensor categorical globalizations of affine morphisms, projective morphisms, immersions, classical projective embeddings (Segre, Plücker, Veronese), blow-ups, fiber products, classifying stacks and finally tangent bundles. It turns out that the universal properties of several moduli spaces or stacks translate to the corresponding tensor categories.

研究动机与目标

• 开发一个全局的、张量范畴化的代数几何框架，以推广局部-全局原理。
• 证明经典几何构造（例如爆破、投影嵌入）可从 cocomplete 张量范畴中的泛性质重构。
• 通过其拟 coherent 线丛的张量范畴表征概形与代数堆栈，推广 Tannaka 对偶性与 Lurie 的工作。
• 在任意 cocomplete 张量范畴中提供下降、局部化与上同调的形式化。
• 证明模空间与分类堆栈通过其关联张量范畴的泛性质展现其几何结构。

提出的方法

• 在任意 cocomplete 张量范畴中发展交换代数，包括代数、模、理想与对偶对象。
• 引入自由构造，如 cocompletion、indization 与给定范畴上的张量范畴。
• 应用堆栈与 cocomplete 张量范畴之间的伴随关系，从其张量范畴重构几何对象。
• 利用在理想与截面处的局部化技术，推广从张量范畴构造概形的方法。
• 应用单子与模的理论定义并研究几何对象，如纤维积与切范畴。
• 运用泛性质在张量范畴框架中定义并表征如 Segre、Veronese 与 Plücker 嵌入等构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典代数几何时的几何构造能否仅从其关联张量范畴的泛性质中完全重构？
• RQ2 如何仅利用其拟 coherent 线丛范畴作为 cocomplete 张量范畴的结构，推广概形或代数堆栈的概念？
• RQ3 cocomplete 张量范畴中的哪些泛性质对应于标准几何运算，如爆破、纤维积与投影嵌入？
• RQ4 在任意 cocomplete 张量范畴中，上同调、下降与局部化能在多大程度上被形式化？
• RQ5 模空间与分类堆栈如何通过其关联张量范畴的泛性质展现其几何结构？

主要发现

• 本文确立了概形与代数堆栈完全由其拟 coherent 线丛的 cocomplete 张量范畴决定，推广了 Gabriel 的重构定理。
• 仿射态射、嵌入与投影态射在张量范畴框架中通过泛性质表征。
• 经典投影嵌入——Segre、Veronese 与 Plücker 嵌入——作为 cocomplete 张量范畴中的泛构造被重构。
• 爆破在张量范畴设定中通过泛性质表征，推广了经典构造。
• 概形的纤维积通过 cocomplete 张量范畴中张量基变换被恢复。
• 概形的切丛通过拟 coherent 线丛范畴的切范畴作为张量范畴构造实现。