[论文解读] Tensor Commutation Matrices and Some Generalizations of the Pauli Matrices

Christian Rakotonirina, Joseph Rakotondramavonirina|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文将张量交换矩阵（TCM）的泡利矩阵表示从 qubit 推广至更高维系统，表明当 $ n = 2^p $ 时，TCM $ S_{n\bigotimes n} $ 可表示为 $ \frac{1}{n}I_n\otimes I_n + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n^2-1} s_i\otimes s_i $，其中 $ s_i $ 是由标准泡利矩阵张量积构成的一般化泡利矩阵。关键结果是通过归纳法与张量代数的构造性证明，表明该公式对所有 $ n = 2^p $ 成立，将已知的 $ S_{2\otimes 2} $ 情况推广至更高数量的量子比特系统。

ABSTRACT

In this paper, some tensor commutation matrices are expressed in termes of the generalized Pauli matrices by tensor products of the Pauli matrices.

研究动机与目标

• 将已知的以泡利矩阵表示的 $ 2\otimes 2 $ 张量交换矩阵公式推广至更高维系统。
• 研究当 $ n \neq 2^p $ 时（特别是 $ n=3 $）是否存在类似的表达式，使用其他一般化泡利矩阵。
• 确定结构 $ S_{n\otimes n} = \frac{1}{n}I_n\otimes I_n + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n^2-1} s_i\otimes s_i $ 是否可由标准泡利矩阵张量积以外的一般化泡利矩阵满足。
• 探讨此类表示在代数上可能成立的条件，特别是关于一般化矩阵的正交性、迹为零及幺正性。

提出的方法

• 本文将张量交换矩阵（TCM）定义为满足对所有向量 $ a,b \in \mathbb{C}^{n\times 1} $ 有 $ S_{n\otimes n}(a\otimes b) = b\otimes a $ 的置换矩阵。
• 提出一般化形式 $ S_{n\otimes n} = \frac{1}{n}I_n\otimes I_n + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n^2-1} s_i\otimes s_i $，其中 $ s_i $ 为一般化泡利矩阵。
• 作者通过归纳法与张量积线性性的一个关键引理，证明当 $ s_i $ 构造为标准泡利矩阵的张量积 $ \sigma_{i_1} \otimes \cdots \otimes \sigma_{i_p} $（$ i_k \in \{0,1,2,3\} $）时，该公式成立。
• 通过显式构造 $ \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 $ 的 $ s_i $，验证了 $ n=4 $ 和 $ n=8 $ 时的公式，分别对应两量子比特与三量子比特系统。
• 证明依赖于表明该和在基向量 $ e_\alpha \otimes e_\beta $ 上的作用可重现交换操作 $ e_\beta \otimes e_\alpha $，并以已知的 $ S_{2\otimes 2} $ 情况作为基础。
• 分析该公式在 $ n=3 $ 时的失效，表明无论 Kibler 矩阵还是非子（nonions）均无法产生 $ S_{3\otimes 3} $，并论证不存在满足所有要求性质的此类 $ 3\times 3 $ 一般化泡利矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \neq 2^p $ 时，张量交换矩阵 $ S_{n\otimes n} $ 是否可表示为 $ \frac{1}{n}I_n\otimes I_n + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n^2-1} s_i\otimes s_i $ 的形式？
• RQ2 Kibler 矩阵或非子是否满足将 $ S_{3\otimes 3} $ 以该形式表示所需的一般化泡利矩阵条件？
• RQ3 是否存在满足公式所要求的正交性、迹为零及 $ s_i^2 = I $ 性质的 $ 3\times 3 $ 一般化泡利矩阵？
• RQ4 为何该公式在 $ n=3 $ 时失效，尽管其在 $ n=2^p $ 时成立？何种代数约束阻止了此类表示？
• RQ5 泡利矩阵的张量积构造是否为满足一般化 TCM 公式的唯一方式，还是存在其他矩阵族？

主要发现

• 当 $ s_i $ 由标准泡利矩阵的张量积构造时，即 $ n = 2^p $ 且 $ p \geq 1 $，公式 $ S_{n\otimes n} = \frac{1}{n}I_n\otimes I_n + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n^2-1} s_i\otimes s_i $ 成立。
• 对于 $ n=4 $，张量交换矩阵 $ S_{4\otimes 4} $ 使用 15 个一般化泡利矩阵 $ s_i = \sigma_i \otimes \sigma_j $（$ i,j \in \{0,1,2,3\} $）表示，满足所提出的公式。
• 对于 $ n=8 $，张量交换矩阵 $ S_{8\otimes 8} $ 同样使用 63 个矩阵 $ S_i = \sigma_{i_1} \otimes \sigma_{i_2} \otimes \sigma_{i_3} $ 表示，确认了三量子比特系统的模式。
• 该公式在 $ n=3 $ 时不成立，因为 Kibler 矩阵与非子均无法产生 $ S_{3\otimes 3} $；相反，它们产生另一个置换矩阵 $ P $，表明存在结构性不匹配。
• 不存在满足迹为零、正交性及 $ s_i^2 = I $ 所有要求性质的 $ 3\times 3 $ 一般化泡利矩阵，而这些性质是公式成立所必需的。
• 本文结论为：泡利矩阵的张量积构造是使一般化 TCM 公式成立的必要且充分条件，且此类表示仅在维度 $ n = 2^p $ 时可能实现。