[论文解读] Tensor models with generalized melonic interactions

Valentin Bonzom|arXiv (Cornell University)|May 6, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文引入了张量模型中的广义梅隆尼克相互作用，将梅隆尼克和项链型相互作用统一为四线顶点的树状粘合。证明了对于一个子类——完全不平衡的相互作用，大 $N$ 极限为高斯型，费曼图与树一一对应，并构建了一个等价的矩阵模型，通过鞍点分析还原了高斯行为，同时减少了自由度。

ABSTRACT

Tensor models are natural generalizations of matrix models. The interactions and observables in the case of unitary invariant models are generalizations of matrix traces. Some notable interactions in the literature include the melonic ones, the tetrahedral one as well as the planar ones in rank three, or necklaces in even ranks. Here we introduce generalized melonic interactions which generalize the melonic and necklace interactions. We characterize them as tree-like gluings of quartic interactions. We also completely characterize the Feynman graphs which contribute to the large $N$ limit. For a subclass of generalized melonic interactions called totally unbalanced interactions, we prove that the large $N$ limit is Gaussian and therefore the Feynman graphs are in bijection with trees. This result further extends the class of tensor models which fall into the Gaussian universality class. Another key aspect of tensor models with generalized melonic interactions is that they can be written as matrix models without increasing the number of degrees of freedom of the original tensor models. In the case of totally unbalanced interactions, this new matrix model formulation in fact decreases the number of degrees of freedom, meaning that some of the original degrees of freedom are effectively integrated. We then show how the large $N$ Gaussian behavior can be reproduced using a saddle point analysis on those matrix models.

研究动机与目标

• 将张量模型中的梅隆尼克和项链型相互作用统一为一类更广泛的相互作用。
• 表征这些广义相互作用在大 $N$ 极限下的费曼图贡献。
• 证明完全不平衡的广义梅隆尼克相互作用产生高斯型大 $N$ 极限。
• 将张量模型重新表述为自由度更少的矩阵模型，尤其针对完全不平衡的相互作用。
• 通过新矩阵模型的鞍点分析重现大 $N$ 高斯行为。

提出的方法

• 广义梅隆尼克相互作用被定义为四线相互作用的树状粘合，扩展了梅隆尼克和项链型结构。
• 通过费曼图展开分析大 $N$ 极限，贡献由特定缩放 $s = -\frac{d(V-2)}{2} + \sum_{e \subset \mathcal{T}} |C_e|$ 表征。
• 通过将张量模型用与泡泡的对偶树的半边相关的矩阵重新表达，构建了新的矩阵模型。
• 推导出矩阵模型的鞍点方程，得到大 $N$ 两点函数的自洽方程：$W_{\mathcal{T}}(t) = 1 - t\,W_{\mathcal{T}}(t)^{V/2}$。
• 鞍点方程的解确认大 $N$ 极限为高斯型，其中 $y_h(t)$ 以树结构表示，且 $W_{\mathcal{T}}(t)$ 成立。
• 矩阵模型表述有效消除了部分原始张量自由度，尤其在完全不平衡相互作用下显著减小系统规模。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量模型中的梅隆尼克和项链型相互作用能否被统一到更广泛的相互作用类中？
• RQ2 在具有广义梅隆尼克相互作用的张量模型中，哪些费曼图对大 $N$ 极限有贡献？
• RQ3 广义梅隆尼克类的大 $N$ 极限是否仍为高斯型，特别是对完全不平衡的相互作用？
• RQ4 能否将具有广义梅隆尼克相互作用的张量模型重新表述为自由度更少的矩阵模型？
• RQ5 能否通过新矩阵模型表述中的鞍点分析重现大 $N$ 高斯行为？

主要发现

• 广义梅隆尼克相互作用被表征为四线相互作用的树状粘合，扩展了梅隆尼克和项链型结构。
• 对于完全不平衡的广义梅隆尼克相互作用，大 $N$ 极限为高斯型，费曼图与树一一对应。
• 大 $N$ 极限由缩放 $s = -\frac{d(V-2)}{2} + \sum_{e \subset \mathcal{T}} |C_e|$ 控制，确保非平凡贡献。
• 张量模型可被重新表述为自由度更少的矩阵模型，尤其在完全不平衡相互作用下。
• 矩阵模型的鞍点分析重现了大 $N$ 高斯行为，两点函数满足 $W_{\mathcal{T}}(t) = 1 - t\,W_{\mathcal{T}}(t)^{V/2}$。
• 矩阵模型表述确认原始张量自由度被有效减少，部分已被积分掉。