[论文解读] Tensor Valued Colombeau Functions on Manifolds

Michael Grosser|ArXiv.org|Dec 17, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过在柯洛梅乌理论中引入一个用于传输算子的第三参数槽，将标量理论扩展至光滑流形上的张量值广义函数，提出了一种新的基础空间 $\tilde{\boldsymbol{\mathcal{E}}}^{r}_{s}(M)$。该构造确保了与李导数的相容性，并通过一种新颖的嵌入 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}$ 保持了分布张量场的 ${\rm C}^\infty(M)$-线性，从而在张量设定下解决了施瓦茨不可能性结果。

ABSTRACT

Extending the construction of the (intrinsically defined) full algebra of scalar valued Colombeau functions on a smooth manifold M (Grosser et al., Adv. Math. 166 (2002), 179-206) we present a suitable basic space for eventually obtaining tensor valued generalized functions on M, via the usual quotient construction. This basic space canonically contains the tensor valued distributions and permits a natural extension of the classical Lie derivative. Its members are smooth functions depending - via a third slot - on so-called transport operators, in addition to slots one (smooth n-forms on M) and two (points of M) from the scalar case.

研究动机与目标

• 将标量柯洛梅乌代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}(M)$ 扩展至光滑流形上的张量值广义函数。
• 通过构建一个保持张量分布嵌入的 ${\rm C}^\infty(M)$-线性的基础空间，克服施瓦茨型不可能性结果。
• 自然地将经典李导数推广至张量值广义函数设定。
• 通过一致的反向拉回构造，确保微分同胚与广义函数代数之间的相容性。
• 通过中等与可忽略元素的构造，为完整的张量值柯洛梅乌代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 提供基础。

提出的方法

• 为基本空间 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 引入三参数槽结构，分别用于：(1) 紧支集的 $n$-形式 $\nu \to \nu$，(2) 点 $p \to p$，以及 (3) 传输算子 $A \to A$。
• 通过公式 $(\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} u)(\nu, p, A) \bullet \tilde{t}(p) := \big\langle u, A^{r}_{s}(p, \bullet)(\tilde{t}(p)) \bullet \nu(\bullet) \big\rangle$ 定义嵌入 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}: {{\rm D}'}^{r}_{s}(M) \to \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$。
• 为微分同胚 $\nu: M \to N$ 构造反向拉回 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \big( \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s} \big)^{-1}$，以确保其与 $\nu^*$ 在分布上的作用相容。
• 在 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 上定义广义李导数 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s}$，使得 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}$，从而保持分布上李导数作用的一致性。
• 将标量情形下的中等性与可忽略性概念适配至三参数槽结构，以定义 $(\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M)$ 和 $\tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$，进而得到商代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M) := (\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M) / \tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$。
• 确保在商代数中，嵌入 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}$ 成为 ${\rm C}^\infty(M)$-线性，从而解决坐标逐分量方法中线性失效的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持基本几何结构的前提下，将流形上标量函数的柯洛梅乌代数推广至张量值广义函数？
• RQ2 是否可以通过包含传输算子的三参数槽结构，解决坐标逐分量张量嵌入中 ${\rm C}^\infty(M)$-线性失效的问题，如施瓦茨不可能性结果所暗示的？
• RQ3 如何自然地将经典张量分布上的李导数推广至广义张量场设定？
• RQ4 在微分同胚下，广义张量场的反向拉回应如何正确定义，以保证其与分布张量场嵌入的交换性？
• RQ5 如何将中等模可忽略元素的商构造适配至张量值情形，以获得一致的代数结构？

主要发现

• 所提出的具有 $n$-形式、点和传输算子参数槽的基础空间 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$，为流形上的张量值广义函数提供了自然的框架。
• 嵌入 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}: {{\rm D}'}^{r}_{s}(M) \to \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 明确定义，并满足 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f \bullet u) = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f) \bullet \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(u)$（对 $f \to {\rm C}^\infty(M)$），从而解决了施瓦茨不可能性结果。
• 广义李导数 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s}$ 在 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 上定义良好，并满足 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}$，确保其与分布上经典李导数的一致性。
• 在微分同胚 $\nu: M \to N$ 下，广义张量场的反向拉回通过 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \big( \nu^* u \big) = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(u) \big( \nu^{-1} \big)$ 一致定义，从而保持变换律。
• 商代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M) := (\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M) / \tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$ 定义良好，并从基础空间继承了微分同胚与李导数的几何作用。
• 光滑张量场的嵌入 $f \to \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f)$ 由 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f)(\nu, p, A) := f(p)$ 给出，保持了广义函数代数下张量积结构的不变性。