[论文解读] Testing Coverage Functions

Deeparnab Chakrabarty, Zhiyi Huang|arXiv (Cornell University)|May 8, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，通过 O(m|U|) 次查询从其值预言机重建覆盖函数，从而实现对预言机是否表示覆盖函数的高效测试。此外，研究进一步表明，在一般情况下测试覆盖函数是不可行的，对于在某些距离度量下远离覆盖函数的函数，需要指数级数量的查询。

ABSTRACT

A coverage function f over a ground set [m] is associated with a universe U of weighted elements and m subsets A_1,..., A_m of U, and for any subset T of [m], f(T) is defined as the total weight of the elements in the union $\cup_{j\in T} A_j$. Coverage functions are an important special case of submodular functions, and arise in many applications, for instance as a class of utility functions of agents in combinatorial auctions. Set functions such as coverage functions often lack succinct representations, and in algorithmic applications, an access to a value oracle is assumed. In this paper, we ask whether one can test if a given oracle is that of a coverage function or not. We demonstrate an algorithm which makes O(m|U|) queries to an oracle of a coverage function and completely reconstructs it. This gives a polytime tester for succinct coverage functions for which |U$ is polynomially bounded in m. In contrast, we demonstrate a set function which is "far" from coverage, but requires 2^{ ildeΘ(m)} queries to distinguish it from the class of coverage functions.

研究动机与目标

• 确定给定的值预言机是否对应于一个覆盖函数，或是否远离覆盖函数。
• 研究在属性测试框架下测试覆盖函数的查询复杂度。
• 探讨当底层全集大小 |U| 不是 m 的多项式有界时，测试覆盖函数的局限性。
• 提出一种新的距离度量——W-距离，用于捕捉非覆盖性的证书密度。

提出的方法

• 提出一种重构算法，通过 O(m|U|) 次预言机查询，恢复覆盖函数的完整集合系统及其权重。
• 利用集合函数的 W 变换，通过非负的 W 系数来刻画覆盖函数。
• 构造了一类与覆盖函数具有大 W-距离的函数，但需要指数级数量的查询才能检测其非覆盖性。
• 采用 Mahler 基表示法来操作 W 系数，并设计具有所需性质的函数。
• 证明任何在密集范围内具有负 W 系数的函数，难以通过预言机查询与覆盖函数区分开来。
• 利用多重线性多项式和根计数猜想，论证此类函数在标准距离度量下也远离覆盖函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅通过预言机查询高效测试覆盖函数，特别是在 |U| 是 m 的多项式时？
• RQ2 区分一个与覆盖函数 ε-远离的函数与一个真正的覆盖函数，其查询复杂度是多少？
• RQ3 是否存在一种自然的非覆盖性证书，以及需要多少查询才能找到它？
• RQ4 W-距离度量与标准距离度量在查询复杂度方面有何关联？
• RQ5 是否存在在标准意义上远离覆盖函数但需要指数级查询才能检测的函数？

主要发现

• 本文提出一种重构算法，通过 O(m|U|) 次查询完全恢复覆盖函数，从而实现对简洁覆盖函数的多项式时间测试。
• 对于简洁覆盖函数（其中 |U| 是 m 的多项式），所提出的算法提供了完整且高效的测试方法。
• 本文构造了一个函数，其在 W-距离下与覆盖函数相距 1−e−Θ(m)，但需要 2Θ(m) 次查询才能与真正的覆盖函数区分开来。
• 研究证明，在 W-距离下测试覆盖函数是不可行的，因为存在需要指数级查询才能检测非覆盖性的函数。
• 作者在多重线性多项式根的猜想基础上提供了证据，表明此类函数在标准距离度量下也远离覆盖函数。
• 研究显示，尽管亚模函数可通过 O(ε−Õ(√m)) 次查询进行测试，但覆盖函数由于其结构复杂性，需要根本不同的方法。