[论文解读] Testing Polynomials for Vanishing on Cartesian Products of Planar Point Sets: Collinearity Testing and Related Problems

Boris Aronov, Esther Ezra+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Polynomial and algebraic computation被引用 4

一句话总结

本文在代数决策树模型中提出了针对平面三点集是否满足多项式方程的子二次时间算法。对于两个点集位于曲线上、第三个点集为任意的情况，该文实现了 O(n^{28/15+ε}) 次符号测试，这是在受限配置下该 3SUM-hard 问题的突破性进展。

ABSTRACT

We present subquadratic algorithms, in the algebraic decision-tree model of computation, for detecting whether there exists a triple of points, belonging to three respective sets $A$, $B$, and $C$ of points in the plane, that satisfy a certain polynomial equation or two equations. The best known instance of such a problem is testing for the existence of a collinear triple of points in $A imes B imes C$, a classical 3SUM-hard problem that has so far defied any attempt to obtain a subquadratic solution, whether in the (uniform) real RAM model, or in the algebraic decision-tree model. While we are still unable to solve this problem, in full generality, in subquadratic time, we obtain such a solution, in the algebraic decision-tree model, that uses only roughly $O(n^{28/15})$ constant-degree polynomial sign tests, for the special case where two of the sets lie on two respective one-dimensional curves and the third is placed arbitrarily in the plane. Our technique is fairly general, and applies to many other problems where we seek a triple that satisfies a single polynomial equation, e.g., determining whether $A imes B imes C$ contains a triple spanning a unit-area triangle. This result extends recent work by Barba \etal~(2017) and by Chan (2018), where all three sets $A$,~$B$, and~$C$ are assumed to be one-dimensional. As a second application of our technique, we again have three $n$-point sets $A$, $B$, and $C$ in the plane, and we want to determine whether there exists a triple $(a,b,c) \in A imes B imes C$ that simultaneously satisfies two independent real polynomial equations. For example, this is the setup when testing for collinearity in the complex plane, when each of the sets $A$, $B$, $C$ lies on some constant-degree algebraic curve. We show that problems of this kind can be solved with roughly $O(n^{24/13})$ constant-degree polynomial sign tests.

研究动机与目标

• 解决平面中共线性检测的长期开放问题，该问题是 3SUM-hard 问题。
• 将先前关于笛卡尔积上多项式消失的研究扩展到其中两个集合位于一维曲线上的情形。
• 在代数决策树模型中，为检测满足一个或两个多项式方程的三元组，开发高效算法。
• 提出一种随机化归约技术，将高维配置简化为平面情形。
• 在几何约束下，为单重和双重多项式消失问题提供更优的复杂度界。

提出的方法

• 通过随机投影到随机超平面，将维度从 d 降低至 2，同时保持共线性并分离点集。
• 利用引理 6.1 进行递归归约，将 d×(d−1)×(d−1) 的配置简化为 2×1×1 的平面实例。
• 利用代数决策树模型，其中每次测试检查输入坐标中常数次多项式的符号。
• 利用两个独立多项式约束可比单一约束更高效求解的事实。
• 应用组合几何与多项式分划的结果，以界定所需符号测试的次数。
• 通过使用通用随机超平面，确保投影以概率 1 保持共线性并分离点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数决策树模型中，3SUM-hard 的共线性检测问题能否在子二次时间内求解？
• RQ2 检测满足单个多项式方程的三元组，所需的常数次多项式符号测试的最小数量是多少？
• RQ3 当存在两个独立多项式约束时，检测消失三元组的复杂度如何变化？
• RQ4 几何约束（如两个集合位于曲线上）是否能为原本困难的问题提供子二次时间算法？
• RQ5 在多大程度上可将高维点集配置归约为平面情形，同时保持问题结构？

主要发现

• 当三个点集中有两个 n 点集位于常数次代数曲线上，第三个为任意集合时，本文在代数决策树模型中实现了 O(n^{28/15+ε}) 次符号测试。
• 尽管该问题在一般情况下为 3SUM-hard，但这是首次在该几何约束下实现子二次时间解法。
• 对于存在两个独立多项式方程的问题，本文实现了 O(n^{24/13+ε}) 次符号测试的界，表明双重约束可带来更高效的解法。
• 通过随机投影的归约技术以概率 1 保持共线性并分离点集，从而实现对平面实例的递归简化。
• 本研究扩展了 Barba 等人以及 Chan 的工作，后者要求三个集合均为一维，而本文允许其中一个集合为任意集合。
• 尽管复杂度随维度 d 增大而下降，但对于每个固定的 d，复杂度仍保持子二次，提示未来可拓展至更高维情形。