[论文解读] Th\\'eorie $L^p$ pour l'\\'equation de Cauchy-Riemann

Christine Laurent‐Thiébaut|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文在复解析流形上建立了 $\bar\partial$-算子的 $L^p$-理论，证明了具有紧支集的 $L^p$-闭形式在 $W^{1,p}$ 空间中是 $\bar\partial$-恰当的，从而推广了经典的 $L^2$ 结果。本文发展了 $L^p$-Dolbeault上同调的对偶理论，并利用紧致性估计和 $L^p$-空间中的对偶性，证明了一个具有 Sobolev 正则性 $W^{1-1/p,p}$ 的 CR 函数的 $L^p$-Hartogs-Bochner 型延拓定理。

ABSTRACT

In this paper we propose a systematic study of the Cauchy-Riemann operator in the $L^p$-setting in complex manifolds. We first consider $L^p_{loc}$-theory and then we develop an $L^p$ Andreotti-Grauert theory. Finally we consider Serre duality and its applications to the solvability of the Cauchy-Riemann equation with exact support in $L^p$-spaces.

研究动机与目标

• 建立复解析流形上 $\bar\partial$-算子的系统性 $L^p$-理论，其中 $1 < p < \infty$。
• 将 Hörmander 和 Neumann 的经典 $L^2$-理论推广至 $L^p$-空间，利用对偶性 $L^p \to L^{p'}$。
• 解决在 $W^{1,p}$-空间中具有紧支集的 $L^p$-闭形式的 $\bar\partial$-恰当性问题。
• 证明具有正则性 $W^{1-1/p,p}$ 的 CR 函数的 $L^p$-Hartogs-Bochner-Severi 延拓定理的 $L^p$-版本。

提出的方法

• 使用 $L^p$-上同调和 $W^{1,p}$-正则性研究复流形上 $\bar\partial$-闭形式。
• 应用 Beals-Greiner-Stanton 的紧致性估计以控制 $W^{1,p}$-空间中的解。
• 通过抽象对偶定理建立 $L^p$-复形与 $L^{p'}$-复形之间的对偶性。
• 在 $L^p$-设定下应用 Andreotti-Grauert 理论，推导上同调消去结果。
• 利用 $L^p$-空间中的 Serre 对偶性，刻画具有紧支集的 $\bar\partial$-问题的可解性。
• 在 Stein 流形中应用 Hartogs 现象，关联上同调群 $H^{r,n}_{c,L^p}(X\setminus\overline{D},E)$ 和 $H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，复流形上具有紧支集的 $L^p$-闭 $(r,q)$-形式在 $W^{1,p}$ 空间中是 $\bar\partial$-恰当的？
• RQ2 $L^p$-对偶性如何关联 $L^p$-复形及其对偶 $L^{p'}$-复形的上同调？
• RQ3 Hartogs-Bochner 延拓定理能否推广至具有 $W^{1-1/p,p}$ 正则性的 $L^p$-Sobolev 空间中的 CR 函数？
• RQ4 哪些几何与上同调条件可保证 $L^p$-空间中具有紧支集的 $\bar\partial$-问题的可解性？
• RQ5 $H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E)$ 的消失性如何与 $H^{r,n}_{c,L^p}(X\setminus\overline{D},E)$ 的分离性相关？

主要发现

• 对任意 $f \in (L^p_{\text{loc}})^{r,q}(X,E)$ 满足 $\bar\partial f = 0$ 且 $q \geq 1$，存在 $g \in (L^p_{\text{loc}})^{r,q-1}(X,E)$ 满足 $\operatorname{supp}(g) \subset \operatorname{supp}(f)$，使得 $f - \bar\partial g \in \mathcal{E}^{r,q}(X,E)$。
• 若 $f = \bar\partial S$，其中 $S \in \mathcal{D}'^{r,q-1}(X,E)$ 为一当前，则存在 $g \in (W^{1,p}_{\text{loc}})^{r,q-1}(X,E)$ 满足 $\operatorname{supp}(g) \subset \operatorname{supp}(S)$，使得 $f = \bar\partial g$。
• 对任意具有紧支集的 $f \in (L^p)^{r,q}(X,E)$ 满足 $\bar\partial f = 0$，存在 $g \in (W^{1,p})^{r,q-1}(X,E)$ 满足 $\operatorname{supp}(g) \subset \operatorname{supp}(f)$，使得 $f = \bar\partial g$。
• $L^p$-上同调 $H^{r,q}_{c,L^p}(X\setminus\overline{D},E)$ 分离当且仅当对 Stein 流形 $X$ 且 $X\setminus D$ 连通时，有 $H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E) = 0$。
• $L^p$-Hartogs 延拓定理成立：若 $X$ 是 Stein 流形且 $n \geq 2$，则定义在区域边界上具有 $W^{1-1/p,p}$ 正则性的 CR 函数可全纯延拓至内部。
• 对偶性表明：要么 $H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E) = 0$，要么 $H^{n-r,1}_{L^{p'}}(X\setminus\overline{D},E^*)$ 不是分离的。