[论文解读] The 2-adic ring $C^*$-algebra of the integers and its representations

Nadia S. Larsen, Xin Li|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文引入了整数的2-adic环C*-代数，记为$\mathcal{Q}_2$，作为Cuntz代数$\mathcal{O}_2$和$ax+b$-半群C*-代数$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$的非平凡推广。它建立了2-adic对偶性定理，表明$\mathbb{Q}_2$和$\mathbb{R}$上的交叉积之间存在莫里塔等价，并构造了一个显式的实现双模，将$\mathcal{Q}_2$的典范表示转移到$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上的相应表示，从而将$\mathcal{Q}_2$与$\mathcal{O}_2$以及实数/2-adic交叉积联系起来。

ABSTRACT

We study the 2-adic version of the ring $C^*$-algebra of the integers. First, we work out the precise relation between the Cuntz algebra $\cO_2$ and our 2-adic ring $C^*$-algebra in terms of representations. Secondly, we prove a 2-adic duality theorem identifying the crossed product arising from 2-adic affine transformations on the 2-adic numbers with the analogous crossed product algebra over the real numbers. And finally, as an outcome of this duality result, we construct an explicit imprimitivity bimodule and prove that it transports one canonical representation into the other.

研究动机与目标

• 定义并研究2-adic环C*-代数$\mathcal{Q}_2$，作为$\mathcal{O}_2$和$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$的非平凡推广。
• 澄清$\mathcal{O}_2$的表示与$\mathcal{Q}_2$的表示之间的精确关系，特别是识别出哪些$\mathcal{O}_2$-表示可延拓至$\mathcal{Q}_2$。
• 建立2-adic对偶性定理，通过莫里塔等价将$\mathbb{Q}_2$上的交叉积与$\mathbb{R}$上的相应交叉积相联系。
• 构造一个显式实现双模，实现该莫里塔等价，并保持$\ell^2(\mathbb{Z})$和$C_0(\mathbb{R})$上的典范表示。

提出的方法

• 作者将$\mathcal{Q}_2$定义为由等距算子$s_n$和一个酉算子$u$生成的C*-代数，其关系编码了乘以2的幂次下$\mathbb{Z}$的2-adic作用。
• 他们将$\mathcal{Q}_2$实现为半群交叉积$C_0(\mathbb{Z}_2) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$，将$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$的结构扩展至2-adic情形。
• 利用扩张理论，他们将$\mathcal{Q}_2$与作用于$C_0(\mathbb{Q}_2)$和$C_0(\mathbb{R})$的群$\mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$的交叉积联系起来，通过莫里塔等价建立对偶性。
• 他们通过诱导表示和傅里叶变换，在$\mathcal{Q}_2$与$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$之间构造了一个具体的实现双模。
• 证明该双模实现了$\mathcal{Q}_2$在$\ell^2(\mathbb{Z})$上的典范表示与$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上的诱导表示之间的酉等价。
• 他们应用Zhang的二分法论证，认为$\mathbb{R}$和$\mathbb{Q}_2$上的交叉积是同构的，尽管未构造出显式的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些Cuntz代数$\mathcal{O}_2$的表示可以延拓至2-adic环C*-代数$\mathcal{Q}_2$？
• RQ2 在表示理论方面，2-adic环C*-代数$\mathcal{Q}_2$与Cuntz代数$\mathcal{O}_2$有何关系？
• RQ3 是否存在$C_0(\mathbb{Q}_2)$对2-adic仿射群$\mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$的交叉积与$\mathbb{R}$上相应交叉积之间的对偶性？
• RQ4 能否构造一个显式的实现双模，以实现$\mathcal{Q}_2$与$\mathbb{R}$上交叉积之间的莫里塔等价？
• RQ5 该双模是否将$\mathcal{Q}_2$在$\ell^2(\mathbb{Z})$上的典范表示转移到$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上的典范表示？

主要发现

• $\mathcal{Q}_2$不是任何环$R$的$\mathfrak{A}[R]$构造的特例，但与$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$和$\mathcal{O}_2$共享关键结构性质，如纯无限性和简单性。
• 给出了$\mathcal{O}_2$-表示可延拓至$\mathcal{Q}_2$的完整刻画，揭示了$\mathcal{O}_2$两个生成等距算子之间的对称关系。
• 证明了2-adic对偶性定理，表明交叉积$C_0(\mathbb{Q}_2) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$与$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$之间存在莫里塔等价。
• 在$\mathcal{Q}_2$与$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$之间构造了一个显式实现双模，实现了该莫里塔等价。
• 该双模将$\mathcal{Q}_2$在$\ell^2(\mathbb{Z})$上的典范表示转移到$C_0(\mathbb{R}) \rtimes \mathbb{Z}[1/2] \rtimes \langle 2 \rangle$上的典范表示，建立了酉等价。
• 对偶性结果的证明未给出交叉积之间的显式同构，但该双模提供了等价关系的明确实现，并保持了典范表示。