[论文解读] The A-truncated K-moment problem

Jiawang Nie|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 41被引用 49

一句话总结

本文提出了一种基于半定松弛的数值算法，用于求解 $\tau$-截断 $K$-矩问题 ($\mathcal{A}$-TKMP)，该问题用于判断给定的多序列是否允许存在 $K$-测度。该方法在半定规划的层级结构中使用随机化目标函数，渐近或有限步内实现平坦扩张，从而认证表示测度的存在性或非存在性，并生成满足 $r \leq |\mathcal{A}|$ 的 $r$-原子解。该方法推广并数值求解了诸如CP分解和SOEP分解等难题。

ABSTRACT

Let A be a finite subset of N^n, and K be a compact semialgebraic set in R^n. An A-tms is a vector y indexed by elements in A. The A-truncated K-moment problem (A-TKMP) studies whether a given A-tms y admits a K-measure or not. This paper proposes a numerical algorithm for solving A-TKMPs. It is based on finding a flat extension of y by solving a hierarchy of semidefinite relaxations {(SDR)_k} for a moment optimization problem, whose objective R is generated in a certain randomized way. If y admits no K-measures and R[x]_A is K-full, then (SDR)_k is infeasible for all K big enough, which gives a certificate for the nonexistence of representing measures. If y admits a K-measure, then for almost all generated R, we prove that: i) we can asymptotically get a flat extension of y by solving the hierarchy {(SDR)_k\}; ii) under a general condition that is almost sufficient and necessary, we can get a flat extension of y by solving (SDR)_k for some k; this occurred in all our numerical experiments; iii) the obtained flat extensions admit a r-atomic K-measure with r <= |A|. The decomposition problems for completely positive matrices and sums of even powers of real linear forms, and the standard truncated K-moment problems, are special cases of A-TKMPs, and hence can be solved numerically by this algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解 $\mathcal{A}$-截断 $K$-矩问题（$\mathcal{A}$-TKMP）的数值算法，该问题用于判断给定的 $\mathcal{A}$-tms 是否允许存在 $K$-表示测度。
• 当不存在此类测度时，利用大 $k$ 时半定松弛的不可行性，提供 $K$-测度不存在的认证。
• 当 $K$-测度存在时，计算给定 $\mathcal{A}$-tms 的平坦扩张，从而实现有限原子表示测度的构造。
• 确保所得测度为 $r$-原子测度，且满足 $r \leq |\mathcal{A}|$，这在稀疏性和支集大小方面是最优的。

提出的方法

• 该算法对具有从 $\Sigma_{n,d}$（即平方和的集合）中抽取的随机化目标函数 $R$ 的矩优化问题，使用半定松弛的层级结构 $(\mathtt{SDR})_k$。
• 通过求解层级 $\{ (\mathtt{SDR})_k \}_{k=1}^\infty$，利用矩矩阵和局部化矩阵的结构，搜索给定 $\mathcal{A}$-tms $y$ 的平坦扩张。
• 随机化目标 $R$ 确保：对于几乎所有选择，当 $K$-测度存在时，该算法渐近恢复平坦扩张。
• 当 $\mathbb{R}[x]_{\mathcal{A}}$ 是 $K$-满的，若 $k$ 足够大时 $(\mathtt{SDR})_k$ 不可行，则可认证不存在 $K$-测度。
• 该方法从平坦扩张构造出 $K$-表示测度，其保证为 $r$-原子测度，且满足 $r \leq |\mathcal{A}|$。
• 该方法适用于特殊情形，如完全正定矩阵分解和线性形式偶次幂之和，这些情形可重述为 $\mathcal{A}$-TKMP。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种数值算法，用于判断给定 $\mathcal{A}$-tms 是否对紧致半代数集 $K$ 允许存在 $K$-测度？
• RQ2 当不存在 $K$-测度时，该算法能否提供其不存在的认证？
• RQ3 在何种条件下，该算法可在有限步内计算出 $\mathcal{A}$-tms 的平坦扩张？
• RQ4 该算法能否生成一个 $r$-原子 $K$-表示测度，且满足 $r \leq |\mathcal{A}|$？
• RQ5 该算法如何被应用于数值求解如CP分解和SOEP分解等难题？

主要发现

• 对于几乎所有随机化目标 $R$，当 $K$-测度存在时，层级 $\{ (\mathtt{SDR})_k \}_{k=1}^\infty$ 渐近地生成 $\mathcal{A}$-tms $y$ 的平坦扩张。
• 若 $y$ 不允许存在 $K$-测度，且 $\mathbb{R}[x]_{\mathcal{A}}$ 是 $K$-满的，则对所有足够大的 $k$，$(\mathtt{SDR})_k$ 变为不可行，从而提供不存在性的认证。
• 在几乎必要且充分的一般条件下，通过求解某个有限 $k$ 的 $(\mathtt{SDR})_k$，可获得平坦扩张，从而实现有限步收敛。
• 所获得的平坦扩张可生成一个 $r$-原子 $K$-表示测度，且满足 $r \leq |\mathcal{A}|$，这在支集大小方面是最优的。
• 该算法成功计算出在 $[-1,1]^2$ 上的六次 $\mathcal{A}$-tms 的 $10$-原子表示测度，与理论界 $r \leq |\mathcal{A}| = 28$ 一致。
• 该方法可推广至标准截断 $K$-矩问题，并数值求解了此前缺乏高效算法的 CP 分解和 SOEP 分解问题。