[论文解读] The Abelian-Nonabelian Correspondence for $I$-functions

Rachel Webb|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 11

一句话总结

本文通过推导一个显式公式，建立了对 quasimap I-函数的阿贝尔-非阿贝尔对应关系，该公式将 reductive 群 $G$ 和其极大 torus $T$ 的 GIT 商 $Z//G$ 与 $Z//T$ 的小 I-函数联系起来。关键结果以曲线类的提升之和表示了通过有理映射 $Z//T \\dashrightarrow Z//G$ 拉回的 $I$-函数，权重为陈类因子的乘积，从而实现了对 Grassmannian 线丛和 Calabi-Yau 超曲面的 $J$-函数的计算。

ABSTRACT

We prove the abelian-nonabelian correspondence for quasimap $I$-functions. That is, if $Z$ is an affine l.c.i. variety with an action by a complex reductive group $G$, we prove an explicit formula relating the quasimap $I$-functions of the GIT quotients $Z//_θ G$ and $Z//_θ T$ where $T$ is a maximal torus of $G$. We apply the formula to compute the $J$-functions of some Grassmannian bundles on Grassmannian varieties and Calabi-Yau hypersurfaces in them.

研究动机与目标

• 建立仿射 l.c.i. 代数簇 $Z$ 在 reductive 群作用下，$Z//G$ 与 $Z//T$ 的 quasimap I-函数之间的精确对应关系。
• 将阿贝尔-非阿贝尔对应关系扩展至等变与扭曲理论，特别是在 $I$-函数的语境下。
• 为 Grassmannian 线丛和 Grassmannian 空间中的 Calabi-Yau 超曲面的 $J$-函数提供计算框架。
• 通过严格证明 quasimap 设置下 $I$-函数对应关系，完成 [IIM17] 中的初步结果。

提出的方法

• 推导一个公式，将 $g^*I^{Z//G}_\beta(z)$ 表示为 $\operatorname{Hom}(\operatorname{Pic}^T(Z),\mathbb{Z})$ 中映射到 $\beta$ 的曲线类提升 $\tilde{\beta}$ 的和。
• 利用 $G$ 的根 $\rho$ 的无限乘积之比的乘积，即 $\frac{\prod_{\rho} \prod_{k=1}^\infty c_1(\mathscr{L}_\rho) + kz}{\text{类似项}}$，建立 $Z//T$ 与 $Z//G$ 上 $I$-函数的关系。
• 通过命题 4.0.1 分析从 $\mathbb{P}^1$ 到 $[Z/G]$ 和 $[Z/T]$ 的 quasimap 模空间的几何结构，识别固定点与评估映射。
• 应用 [CKS08] 的重构结果与 [CK14] 的镜像定理，推导出射影 Fano 商的完整阿贝尔-非阿贝尔对应关系。
• 利用稳定规范映射与 quasimap 理论处理等变与扭曲 $I$-函数，特别是在 $Z$ 为向量空间的情形。
• 通过验证 $I$-有效性并分析固定点 $F_{\tilde{\beta}}(Z//G)$ 的结构，显式构造 Grassmannian 上 Grassmannian 线丛的 $I$-函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 $Z//T$ 的 $I$-函数表达非阿贝尔商 $Z//G$ 的 quasimap $I$-函数？
• RQ2 在 quasimap 设置下，$Z//G$ 与 $Z//T$ 的 $I$-函数之间，阿贝尔-非阿贝尔对应关系的精确公式是什么？
• RQ3 在何种条件下，$I$-函数对应关系能推出 genus-zero Gromov-Witten 不变量的完整阿贝尔-非阿贝尔对应关系？
• RQ4 如何将 $I$-函数对应关系扩展至等变与扭曲理论？
• RQ5 能否利用 $I$-函数公式计算 Grassmannian 空间中 Grassmannian 线丛与 Calabi-Yau 超曲面的 $J$-函数？

主要发现

• 本文证明了定理 1.1.1，该定理给出了 $g^*I^{Z//G}_\beta(z)$ 的完整公式，其形式为对提升 $\tilde{\beta}$ 的求和与陈类比值乘积的组合，从而完全由 $Z//T$ 的 $I$-函数确定 $Z//G$ 的 $I$-函数。
• 当 $Z$ 为向量空间时，结合主定理与 [CCK15, Thm 5.4] 中已知的 $Z//T$ 的 $I$-函数公式，该公式可给出 $I^{Z//G}_\beta(z)$ 的闭形式表达式。
• 等变与扭曲版本的 $I$-函数对应关系在推论 6.1.1 与 6.2.1 中建立，将结果推广至更广泛的几何设置。
• 当 $Z$ 为向量空间时，构造了 $Z//G$ 的大 $I$-函数，如推论 6.3.1 所示，成功恢复了 Grassmannian（如 $Gr(k,n)$）的显式 $I$-函数公式。
• 该方法可显式计算 Grassmannian 空间上 Grassmannian 线丛的等变扭曲小 $J$-函数，如定理 6.5.1 所示。
• 固定点 $F_{\tilde{\beta}}(Z//G)$ 的几何结构被完全描述，其为嵌入到 $Z^s(G)/P_{\tilde{\alpha}}$ 上旗丛的闭子簇，这对 $I$-函数的计算至关重要。