[论文解读] The affine invariant of generalized semitoric systems

Álvaro Pelayo, Tudor S. Raţiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文引入了一个辛不变量Δ，用于广义半李群系统（generalized semitoric systems）——即在4-流形上具有非紧致S¹作用和焦点-焦点奇点的可积系统。通过沿通过焦点-焦点值的竖直线进行切割，作者构造了一个同胚映射，将奇点图像F(M)映射到一个平面区域Δ，该区域是仿射不变量，并推广了李群系统中的凸多边形。该结果将Atiyah–Guillemin–Sternberg定理推广至非李群、广义半李群系统。

ABSTRACT

A generalized semitoric system F:=(J,H): M --> R^2 on a symplectic 4-manifold is an integrable system whose essential properties are that F is a proper map, its set of regular values is connected, J generates an S^1-action and is not necessarily proper. These systems can exhibit focus-focus singularities, which correspond to fibers of F which are topologically multipinched tori. The image F(M) is a singular affine manifold which contains a distinguished set of isolated points in its interior: the focus-focus values {(x_i,y_i)} of F. By performing a vertical cutting procedure along the lines {x:=x_i}, we construct a homeomorphism f : F(M) --> f(F(M)), which restricts to an affine diffeomorphism away from these vertical lines, and generalizes a construction of Vu Ngoc. The set Δ:=f(F(M)) in R^2 is a symplectic invariant of (M,ω,F), which encodes the affine structure of F. Moreover, Δmay be described as a countable union of planar regions of four distinct types, where each type is defined as the region bounded between the graphs of two functions with various properties (piecewise linear, continuous, convex, etc). If F is a toric system, Δis a convex polygon (as proven by Atiyah and Guillemin-Sternberg) and f is the identity.

研究动机与目标

• 将Atiyah–Guillemin–Sternberg凸性定理推广至包含非紧致S¹作用和焦点-焦点奇点的广义半李群系统。
• 为广义半李群系统定义一个辛不变量，以捕捉动量映射图像的仿射结构。
• 将Vũ Ngọc对标准半李群系统构造同胚映射的工作推广至更广泛的可积系统类别，超越标准半李群系统。
• 将动量映射图像在同胚下的像表征为四类不同类型的平面区域的可数并集。
• 证明所得区域Δ是辛不变量，且在远离焦点-焦点直线的区域保持其仿射结构。

提出的方法

• 将广义半李群系统定义为可积系统(J,H): M → ℝ²，其中J生成一个有效哈密顿S¹作用，且所有奇点均为非退化的，不含双曲块。
• 将焦点-焦点奇点识别为F(M)内部的孤立点，对应于多重捏缩的环面纤维。
• 沿每条通过焦点-焦点值(x_i, y_i)的竖直线x = x_i进行竖直切割，移除这些直线以分解图像。
• 构造一个同胚映射f: F(M) → f(F(M))，其在竖直线之外的区域上为仿射微分同胚。
• 将所得像Δ := f(F(M)) ⊂ ℝ²定义为系统的辛不变量，其由由分段线性、连续且凸的函数所界定的平面区域组成。
• 利用发展映射和单值性，分析动量映射图像的仿射结构，将整数仿射流形的概念推广至奇异情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Atiyah–Guillemin–Sternberg的凸性结果能否推广至具有非紧致S¹作用的广义半李群系统？
• RQ2 如何为广义半李群系统构造一个辛不变量，以编码动量映射图像的仿射结构？
• RQ3 当存在焦点-焦点奇点时，F(M)的拓扑与几何性质为何？
• RQ4 沿x = x_i直线的竖直切割过程如何将奇异仿射结构转化为一个行为良好的平面区域Δ？
• RQ5 所得区域Δ如何推广李群系统中的凸多边形？其结构组成部分是什么？

主要发现

• 广义半李群系统的图像F(M)是一个奇异仿射流形，其内部包含孤立的焦点-焦点值(x_i, y_i)。
• 沿直线x = x_i的竖直切割过程产生一个同胚映射f: F(M) → f(F(M))，其在这些直线之外的区域为仿射微分同胚。
• 所得图像Δ := f(F(M))是系统(M, ω, F)的辛不变量，编码了动量映射的仿射结构。
• Δ是四类不同类型的平面区域的可数并集，每一区域均由具有特定性质的函数图像所界定：分段线性、连续、凸或凹。
• 当F为李群系统时（即J是 proper 的），Δ退化为一个凸多边形，从而恢复Atiyah–Guillemin–Sternberg的结果。
• 该构造推广了Vũ Ngọc对标准半李群系统的早期工作，并将辛不变量的概念扩展至具有焦点-焦点奇点的非紧致情形。