[论文解读] The algebra of entanglement and the geometry of composition

Amar Hadzihasanovic|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 137被引用 41

一句话总结

本论文提出了一种基于正则多复形（regular polygraphs）的组合通用代数，其中高阶范畴具有非退化的胞胞边界，而弦图滑动变换则源于子理论的张量积。该研究为图示代数建立了几何基础，通过球状偏序集（globular posets）证明了完备性，并将该框架应用于构建ZW演算——一种关于量子比特纠缠的完整、物理意义明确的图示公理化体系。

ABSTRACT

String diagrams turn algebraic equations into topological moves that have recurring shapes, involving the sliding of one diagram past another. We individuate, at the root of this fact, the dual nature of polygraphs as presentations of higher algebraic theories, and as combinatorial descriptions of "directed spaces". Operations of polygraphs modelled on operations of topological spaces are used as the foundation of a compositional universal algebra, where sliding moves arise from tensor products of polygraphs. We reconstruct several higher algebraic theories in this framework. In this regard, the standard formalism of polygraphs has some technical problems. We propose a notion of regular polygraph, barring cell boundaries that are not homeomorphic to a disk of the appropriate dimension. We define a category of non-degenerate shapes, and show how to calculate their tensor products. Then, we introduce a notion of weak unit to recover weakly degenerate boundaries in low dimensions, and prove that the existence of weak units is equivalent to a representability property. We then turn to applications of diagrammatic algebra to quantum theory. We re-evaluate the category of Hilbert spaces from the perspective of categorical universal algebra, which leads to a bicategorical refinement. Then, we focus on the axiomatics of fragments of quantum theory, and present the ZW calculus, the first complete diagrammatic axiomatisation of the theory of qubits. The ZW calculus has several advantages over ZX calculi, including a computationally meaningful normal form, and a fragment whose diagrams can be read as setups of fermionic oscillators. Moreover, its generators reflect an operational classification of entangled states of 3 qubits. We conclude with generalisations of the ZW calculus to higher-dimensional systems, including the definition of a universal set of generators in each dimension.

研究动机与目标

• 解释代数理论中弦图滑动变换的深层几何与组合起源。
• 通过引入具有非退化胞胞边界的正则多复形，解决标准多复形中的技术限制。
• 发展球状偏序集理论作为正则多复形中胞胞的形状，以支持可计算的张量积。
• 建立高阶范畴中弱单位与等价胞胞之间的联系。
• 将该框架应用于量子理论，最终构建出关于量子比特纠缠的完整、可物理解释的图示演算体系。

提出的方法

• 通过排除退化胞胞边界（不与圆盘同胚）来定义正则多复形，确保几何上的良好行为。
• 利用偏序集拓扑学发展球状偏序集，以定义胞胞的形状，并证明其满足非退化性。
• 通过基于形状的复合定义正则多复形的张量积，从而支持一致的高维代数结构。
• 引入弱单位作为在低维中恢复弱退化边界的手段，将其与可除性及等价胞胞联系起来。
• 通过在2-范畴精化中重新解释希尔伯特空间，将形式体系应用于量子理论，从而导出ZW演算。
• 将ZW演算构建为关于量子比特理论的完整、可归约的图示公理化体系，其生成元与费米子振子系统设置相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何弦图滑动变换在代数理论中持续出现？其更深层的几何起源是什么？
• RQ2 如何重新表述多复形以避免退化胞胞边界，并实现可计算的张量积？
• RQ3 高阶范畴中弱单位与等价胞胞之间存在何种关系？
• RQ4 能否为量子纠缠构建一个完整且具有物理意义的图示演算体系？
• RQ5 ZW演算能否推广至任意有限维的量子系统（qudits）？

主要发现

• 正则多复形通过排除退化胞胞边界来定义，确保了几何一致性，并支持良好行为的形状理论。
• 球状偏序集为正则多复形中胞胞的形状提供了组合-拓扑基础，满足非退化性，并支持张量积的计算。
• 正则多复形中弱单位的存在性等价于存在满足特定可除性性质的胞胞，这些胞胞对应于基本等价胞胞。
• ZW演算被呈现为关于量子比特量子理论的完整、可归约的图示公理化体系，其物理可解释部分基于费米子振子系统。
• ZW演算相较于ZX演算具有优势，包括计算上有意义的归约形式，以及反映多体纠缠操作分类的生成元集合。
• 该框架支持推广至任意有限维的量子系统（qudits），并在每个维度中定义了通用的生成元集合。