[论文解读] The anisotropic averaged Euler equations

Jerrold E. Marsden, Steve Shkoller|ArXiv.org|May 3, 2000

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 15被引用 17

一句话总结

本文提出了各向异性的平均欧拉方程，这是一种新的湍流流动模型，通过一个随流输运的对称张量捕捉小尺度波动，从而实现适定性并为宏观速度提供校正项。该方法利用变分原理和半直接积几何结构，推导出具有光滑解的方程，并在存在边界的情况下仍能收敛至无粘极限。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to derive the anisotropic averaged Euler equations and to study their geometric and analytic properties. These new equations involve the evolution of a mean velocity field and an advected symmetric tensor that captures the fluctuation effects. Besides the derivation of these equations, the new results in the paper are smoothness properties of the equations in material representation, which gives well-posedness of the equations, and the derivation of a corrector to the macroscopic velocity field. The numerical implementation and physical implications of this set of equations will be explored in other publications.

研究动机与目标

• 推导一组新的方程，用于建模大尺度流体流动，同时在不需额外闭合模型的前提下纳入小尺度波动效应。
• 基于变分原理和半直接积结构，建立各向异性平均欧拉方程的几何与分析基础。
• 在物质（拉格朗日）表示下，证明各向异性平均欧拉方程经典解的存在性及其对初始数据的光滑依赖性。
• 推导一个校正项，通过考虑未解析的波动来改进宏观速度场。
• 证明即使在存在边界的情况下，粘性解也能收敛至无粘极限，确保模型的鲁棒性。

提出的方法

• 通过小空间尺度上的系综平均来表示物质粒子采样，并结合变分原理中的渐近展开。
• 应用拉格朗日半直接积理论，从变分形式推导出各向异性平均欧拉方程。
• 引入一个对称张量场 $ F $ 作为波动变量，由平均速度输运，以捕捉各向异性的微小尺度效应。
• 在物质表示下推导方程，确保初始数据属于索伯列夫空间 $ H^s $ 且满足 $ s > n/2 + 2 $ 时，经典解具有光滑性和适定性。
• 通过 $ \nu \Delta u^\nu $ 实现粘性正则化，以保证解的存在性与正则性，并在 $ \nu \to 0 $ 时收敛至无粘情况。
• 通过粘性版本的各向异性平均方程，建立与纳维-斯托克斯方程的联系，同时保持几何结构不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不引入额外闭合假设的前提下，系统地将湍流流动中的小尺度波动纳入宏观模型？
• RQ2 从变分原理导出的各向异性平均欧拉方程具有怎样的几何与分析结构？
• RQ3 能否在拉格朗日框架下证明各向异性平均欧拉方程的经典解存在，并且对初始条件光滑依赖？
• RQ4 波动张量 $ F $ 在校正宏观速度场中的作用是什么，该校正项如何推导？
• RQ5 即使存在边界条件，各向异性平均方程的粘性正则化是否仍能在 $ \nu \to 0 $ 时收敛至无粘解？

主要发现

• 通过使用半直接积结构的变分原理推导出各向异性平均欧拉方程，确保其几何形式与阿诺德在微分同胚群上的测地流类似。
• 对于初始数据 $ (u_0, F_0) \in H^s_\mu \times C^\infty(T^{2,0}) $ 且满足 $ s > n/2 + 2 $ 的情况，物质表示下的经典解存在，并且对初始条件光滑依赖。
• 推导出一个校正项，通过考虑未解析的波动来改进宏观速度场，提供超越平均流的系统性校正。
• 粘性各向异性平均纳维-斯托克斯方程的解在 $ \nu \to 0 $ 时正则收敛至各向异性平均欧拉方程的无粘解，且解的存在时间区间与 $ \nu $ 无关。
• 粘性拉格朗日流 $ \eta^\nu $ 在 $ H^s $ 拓扑下收敛至无粘拉格朗日流 $ \eta^0 $，证实即使在有边界的情况下，无粘极限依然具有鲁棒性。
• 该模型避免了对额外闭合模型的需求，与雷诺平均或大涡模拟不同，通过张量 $ F $ 自然地纳入波动效应。