[论文解读] The Arithmetic of Calabi--Yau Manifolds and Mirror Symmetry

Shabnam Nargis Kadir|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 24

一句话总结

本文通过计算有限域上卡拉比-丘流形的有理点数（利用同余zeta函数），研究了其镜像对称性，发现zeta函数能编码单变量与非单变量复结构形变之间的差异。该研究建立了函数方程与模形式的联系，特别是发现zeta函数在特定位置（如φ²=1）与Siegel模形式的L函数相关联。

ABSTRACT

We study mirror symmetric pairs of Calabi--Yau manifolds over finite fields. In particular we compute the number of rational points of the manifolds as a function of the complex structure parameters. The data of the number of rational points of a Calabi--Yau $X/\mathbb{F}_q$ can be encoded in a generating function known as the congruent zeta function. The Weil Conjectures (proved in the 1970s) show that for smooth varieties, these functions take a very interesting form in terms of the Betti numbers of the variety. This has interesting implications for mirror symmetry, as mirror symmetry exchanges the odd and even Betti numbers. Here the zeta functions for a one-parameter family of K3 surfaces, $\mathbb{P}_3[4]$, and a two-parameter family of octics in weighted projective space, $\mathbb{P}_4{}^{(1, 1, 2, 2, 2)} [8]$, are computed. The form of the zeta function at points in the moduli space of complex structures where the manifold is singular (where the Weil conjectures apart from rationality are not applicable), is investigated. The zeta function appears to be sensitive to monomial and non-monomial deformations of complex structure (or equivalently on the mirror side, toric and non-toric divisors). Various conjectures about the form of the zeta function for mirror symmetric pairs are made in light of the results of this calculation. Connections with $L$-functions associated to both elliptic and Siegel modular forms are suggested.

研究动机与目标

• 通过zeta函数研究有限域上镜像对称卡拉比-丘流形的算术性质。
• 计算加权射影空间中单参数K3族与双参数八次三复形的有理点数。
• 分析在Weil猜想不完全适用的奇异复结构点处zeta函数的行为。
• 探索zeta函数与模形式（特别是Siegel模形式）的L函数之间的联系。
• 基于计算数据，提出镜像对对应zeta函数形式的猜想。

提出的方法

• 利用Gauss和与p进Gamma函数，在有限域F_q上计算有理点数。
• 应用Dwork方法推导流形周期的Picard–Fuchs微分方程。
• 采用Batyrev的 торic超曲面构造方法，在加权射影空间中定义卡拉比-丘流形。
• 从点计数构造同余zeta函数，并分析其函数方程与模形式性质。
• 利用toric图与三角剖分方法解析奇点，并对单变量形变类进行分类。
• 比较镜像对之间在φ²=1与ψ=0位置处的zeta函数，以检测模形式模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当复结构点为奇异点（Weil猜想不完全适用）时，卡拉比-丘流形的zeta函数行为如何？
• RQ2 在镜像对中，单变量与非单变量复结构形变的zeta函数结构有何区别？
• RQ3 镜像对称卡拉比-丘流形的zeta函数能否与Siegel模形式的L函数相关联？
• RQ4 模空间中φ²=1的点是否对应一个模形式的L函数？若是，其函数方程为何？
• RQ5 双参数八次三复形的zeta函数如何反映toric与非toric除子的几何结构？

主要发现

• K3曲面族的zeta函数表现出函数方程，并与权为2的模形式的L函数一致。
• 在φ²=1位置，镜像八次三复形的zeta函数表现出模形式性质，提示其与2型Siegel模形式相关。
• 当ψ=0时，八次三复形的zeta函数退化为椭圆曲线相关L函数的乘积，表明其具有K3纤维化结构。
• zeta函数对单变量与非单变量形变敏感，在数据表中观察到不同的函数形式。
• 在p=3,5,7时，八次三复形的zeta函数系数在单变量类中表现出一致模式，支持所提出的函数方程。
• 在未获得F_{17^4}上点计数的情况下，无法唯一确定(0,4,0,3,3)×(4,0,1,1,0)这一对的贡献，表明该方法存在计算限制。