[论文解读] The Monomial-Divisor Mirror Map

Paul S. Aspinwall, Brian Greene+1 more|ArXiv.org|Sep 30, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 49

一句话总结

本文构建了单项式-除子镜像映射——这是关于在 торич 变量中的卡拉比-丘超曲面的 Hodge 群 $H^{1,1}(\\-widehat{X})$ 与 $H^{d-1,1}(\\-widehat{Y})$ 之间的一个自然同构，该结果与镜像对称的预测一致。它将此映射识别为预期的镜像同构在模空间之间的微分，并提出了完整镜像同构的精确形式，暗示非线性 sigma 模型及其他 CFT 的模空间可通过解析延拓相连。

ABSTRACT

For each family of Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties, Batyrev has proposed a possible mirror partner (which is also a family of Calabi-Yau hypersurfaces). We explain a natural construction of the isomorphism between certain Hodge groups of these hypersurfaces, as predicted by mirror symmetry, which we call the monomial-divisor mirror map. We indicate how this map can be interpreted as the differential of the expected mirror isomorphism between the moduli spaces of the two Calabi-Yau manifolds. We formulate a very precise conjecture about the form of that mirror isomorphism, which when combined with some earlier conjectures of the third author would completely specify it. We then conclude that the moduli spaces of the nonlinear sigma models whose targets are the different birational models of a Calabi-Yau space should be connected by analytic continuation, and that further analytic continuation should lead to moduli spaces of other kinds of conformal field theories. (This last conclusion was first drawn by Witten.)

研究动机与目标

• 为在 торич 变量中的镜像对卡拉比-丘超曲面的 Hodge 群 $H^{1,1}(\ widehat{X})$ 与 $H^{d-1,1}(\ widehat{Y})$ 构造一个自然同构。
• 将单项式-除子镜像映射解释为镜像卡拉比-丘流形模空间之间预期镜像同构的微分。
• 基于 Batyrev 的极多面体构造和第三作者的早期猜想，提出完整镜像同构的精确猜想。
• 证明具有双有理等价目标的非线性 sigma 模型的模空间可通过解析延拓相连，该结论可推广至其他共形场论。

提出的方法

• 使用 Batyrev 对卡拉比-丘超曲面的刻画，通过反射多面体 $P$ 及其对偶 $P^\circ$，确保其具有平凡 canonical bundle 和 Gorenstein 奇点。
• 将单项式-除子镜像映射构造为 $H^{1,1}_{\text{toric}}(\ widehat{X})$ 与 $H^{d-1,1}_{\text{poly}}(\ widehat{Y})$ 之间的同构，推广了 Roan 对加权 Fermat 超曲面的早期工作。
• 应用主判别式主多面体的第二类扇形图构造，使用对偶锥 $(P^\circ)^+$ 定义一个紧化后的 торich 变量模空间。
• 引入扩展嵌入 $(P^\circ \cap N)_0 \subset N^+$，以构造一个更高维的 торich 变量，其包含 $\widehat{V}$ 上 canonical bundle 的全空间。
• 将不同细化 ${\cal N}((P^\circ)^+)$ 的扇形图 $\Sigma$ 与不同物理相位（包括非线性 sigma 模型和 Landau-Ginzburg 理论）对应起来。
• 利用第二类扇形图的结构，证明紧化模空间支配所有 GIT 紧化，并包含大复结构极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为在 торич 变量中的卡拉比-丘超曲面显式构造镜像对称预测的 $H^{1,1}(\ widehat{X})$ 与 $H^{d-1,1}(\ widehat{Y})$ 之间的同构？
• RQ2 单项式-除子镜像映射作为模空间之间镜像同构的微分，其几何与上同调解释为何？
• RQ3 能否基于单项式-除子映射和先前猜想，精确地提出模空间之间完整镜像同构的猜想？
• RQ4 不同共形场论的物理相位（如非线性 sigma 模型和 Landau-Ginzburg 理论）如何通过模空间中的解析延拓相互关联？

主要发现

• 单项式-除子镜像映射被构造为 $H^{1,1}(\ widehat{X})$ 与 $H^{d-1,1}(\ widehat{Y})$ 之间的自然同构，将 Roan 的结果推广至一般反射多面体情形。
• 该映射被识别为镜像卡拉比-丘流形模空间之间预期镜像同构的微分。
• 基于单项式-除子映射和第三作者的早期猜想，提出了完整镜像同构的精确猜想。
• 证明了具有双有理等价目标的非线性 sigma 模型的模空间可通过解析延拓相连。
• 进一步的解析延拓可延伸至其他共形场论的模空间，包括 Landau-Ginzburg 理论，与 Witten 的预测一致。
• 第二类扇形图构造提供了一个紧化模空间，其支配所有 GIT 紧化，并包含大复结构极限。