[论文解读] The arity gap of aggregation functions and further extensions

Miguel Couceiro, Erkko Lehtonen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2010

Multi-Criteria Decision Making参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文利用arity gap的概念，对聚合函数进行了完整分类，提供了伪布尔函数的Lövász扩张和Choquet积分的arity gap的显式描述。研究进一步将这些结果扩展到任意偏序集（posets）之间的保序函数，证明在这一更广泛类中，类似的结构特征依然成立，从而统一并推广了聚合理论中的先前结果。

ABSTRACT

The aim of this paper is to completely classify all aggregation functions based on the notion of arity gap. We first establish explicit descriptions of the arity gap of the Lovasz extensions of pseudo-Boolean functions and, in particular, of the Choquet integrals. Then we consider the wider class of order-preserving functions between arbitrary, possibly different, posets, and show that similar explicit descriptions still hold for this function class which subsumes that of aggregation functions.

研究动机与目标

• 基于arity gap（衡量函数输出在变量被移除时变化程度的指标）对聚合函数进行全面分类。
• 为伪布尔函数的Lövász扩张的arity gap提供显式描述。
• 将这些发现扩展至Choquet积分（在决策理论和模糊测度中具有基础性作用）。
• 将框架推广至任意、可能不同的偏序集之间的保序函数，从而将适用范围从标准聚合函数扩展至更广范围。

提出的方法

• 作者通过分析使函数输出范围减少所需的最少变量数，来研究arity gap。
• 利用底层集合函数的结构，推导出Lövász扩张arity gap的显式公式。
• 分析利用了伪布尔函数及其在格序结构上的扩展的性质。
• 通过利用序理论性质和单调性，将框架扩展至任意偏序集之间的保序函数。
• 作者利用对偶性和表示定理，从函数在定义域偏序集的极小元和极大元上的行为，刻画arity gap。
• 他们证明，在这些推广下，arity gap依然保持良好定义且可计算，同时保留了原有的结构洞察。

实验结果

研究问题

• RQ1 伪布尔函数的Lövász扩张的arity gap的确切值和结构是什么？
• RQ2 Choquet积分的arity gap行为如何？能否显式刻画？
• RQ3 arity gap的概念能否有意义地扩展至标准聚合函数之外，推广到任意偏序集之间的保序函数？
• RQ4 在推广设置中，决定arity gap行为的函数类结构特性是什么？

主要发现

• 伪布尔函数的Lövász扩张的arity gap，完全由使函数输出范围减少所需的最少变量数来刻画。
• 对于Choquet积分，arity gap通过底层容量结构和子集格的结构显式描述。
• arity gap在任意偏序集之间的保序函数中依然保持良好定义且可计算，推广了标准聚合函数的结果。
• 在推广设置中，arity gap的显式描述保留了经典情况下相同的结构洞察，表明其在不同函数类中具有鲁棒性。