[论文解读] The Asymptotic Capacity of Private Search

Zhe Chen, Zhiying Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Cryptography and Data Security参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文证明了在 $N$ 个非共谋服务器下，私有搜索的渐近容量为 $1 - 1/N$，即使消息之间存在任意依赖关系，且搜索被推广至随集合增长的近似（OR）查询。该结果通过一种新颖的依赖性私有信息检索（DPIR）的反向界推导得出，该界在消息字母表大小 $K$ 较大时对私有搜索具有紧致性。即使匹配记录的数量随 $K$ 增长，容量仍保持为 $1 - 1/N$，表明其对消息依赖关系具有鲁棒性。

ABSTRACT

The private search problem is introduced, where a dataset comprised of $L$ i.i.d. records is replicated across $N$ non-colluding servers, each record takes values uniformly from an alphabet of size $K$, and a user wishes to search for all records that match a privately chosen value, without revealing any information about the chosen value to any individual server. The capacity of private search is the maximum number of bits of desired information that can be retrieved per bit of download. The asymptotic (large $K$) capacity of private search is shown to be $1-1/N$, even as the scope of private search is further generalized to allow approximate (OR) search over a number of realizations that grows with $K$. The results are based on the asymptotic behavior of a new converse bound for private information retrieval with arbitrarily dependent messages.

研究动机与目标

• 刻画私有搜索的渐近容量，即用户从在 $N$ 个非共谋服务器上复制的数据库中检索与私有查询匹配的记录。
• 将私有信息检索（PIR）理论扩展至处理任意依赖的消息，提出依赖性 PIR（DPIR）的框架。
• 确定此前仅在独立消息下已知的渐近容量 $1 - 1/N$ 是否在私有搜索中典型存在的强消息依赖下依然成立。
• 研究该容量是否在近似搜索下依然有效，即用户检索与 $M$ 个查询值中任意一个匹配的记录，即使 $M$ 随 $K$ 增长。
• 识别新反向界紧致的条件，并探索容量可能不同于 $1 - 1/N$ 的反例。

提出的方法

• 推导 DPIR 的一般非渐近反向界，提供下载成本的下界和容量的上界。
• 应用已知的 DPIR 通用可实现方案，证明在某些条件下该反向界是紧致的。
• 提出一个充分条件（定理 3），在此条件下 DPIR 的渐近容量收敛于 $1 - 1/N$，基于条件微分熵项的极限行为。
• 通过递归二分法对消息字母表进行划分，以界定条件微分熵 $H(W_l | W_1, \dots, W_{l-1})$，并证明其渐近匹配 $L H_2(\gamma)$。
• 利用条件微分熵与边缘微分熵的渐近等价性，验证私有搜索中 $1 - 1/N$ 容量的充分条件。
• 分析一个受限搜索模式的反例（在圆形字母表上为连续半圆），表明该反向界可能不紧致，或容量可能不同于 $1 - 1/N$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当消息之间存在任意依赖关系（如 $L$ 个独立同分布的记录匹配单个查询值）时，私有搜索的渐近容量是否仍为 $1 - 1/N$？
• RQ2 能否将 $1 - 1/N$ 的渐近容量扩展至近似私有搜索，即用户检索与 $M$ 个值中任意一个匹配的记录，即使 $M$ 随 $K$ 增长？
• RQ3 所提出的 DPIR 反向界是否对所有消息依赖结构都紧致？是否存在其无法捕捉真实容量的情况？
• RQ4 哪些消息依赖结构的约束会阻止渐近容量达到 $1 - 1/N$？此类情况能否被刻画？
• RQ5 在何种条件下，消息的条件微分熵会收敛至边缘微分熵，从而支持 $1 - 1/N$ 容量结果？

主要发现

• 对于任意数量的非共谋服务器 $N \geq 2$，私有搜索的渐近容量为 $1 - 1/N$，即使记录数 $L$ 远大于字母表大小 $K$。
• 该结果适用于 $M$-近似私有搜索，即用户检索与 $M$ 个查询值中任意一个匹配的记录，即使 $M$ 随 $K$ 增长，只要消息依赖满足定理 3 的充分条件。
• DPIR 的一般反向界被证明对私有搜索是紧致的，因为推导出的下载成本下界与可实现方案在渐近区域的性能一致。
• 定理 3 中的充分条件——即每个消息在给定前序消息下的极限条件微分熵等于其边缘微分熵——在私有搜索中成立，从而支持 $1 - 1/N$ 容量。
• 通过一个反例（在圆形字母表上为连续半圆的搜索模式）表明，该反向界可能不紧致，或渐近容量可能不等于 $1 - 1/N$，该情况仍为开放问题。
• 本文证明了 $1 - 1/N$ 容量对非线性消息依赖关系具有鲁棒性，扩展了以往仅适用于独立消息或线性依赖关系的结果。