[论文解读] Multi-Message Private Information Retrieval: Capacity Results and Near-Optimal Schemes

Karim Banawan, Şennur Ulukuş|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Cryptography and Data Security参考文献 22被引用 16

一句话总结

本文建立了从 N 个不相互通信的复制数据库中进行多消息私有信息检索（MPIR）的信息论和容量，其中用户私密地检索 M 个消息中的 P 个。对于 P ≥ M/2 的情况，推导出精确容量；对于 P < M/2 的情况，给出紧密的上下界，表明联合检索多个消息比顺序地逐一检索单个消息更高效，当 N=2、M=5、P=2 时，上下界之间的最大差距为 0.0082。

ABSTRACT

We consider the problem of multi-message private information retrieval (MPIR) from $N$ non-communicating replicated databases. In MPIR, the user is interested in retrieving $P$ messages out of $M$ stored messages without leaking the identity of the retrieved messages. The information-theoretic sum capacity of MPIR $C_s^P$ is the maximum number of desired message symbols that can be retrieved privately per downloaded symbol. For the case $P \geq \frac{M}{2}$, we determine the exact sum capacity of MPIR as $C_s^P=\frac{1}{1+\frac{M-P}{PN}}$. The achievable scheme in this case is based on downloading MDS-coded mixtures of all messages. For $P \leq \frac{M}{2}$, we develop lower and upper bounds for all $M,P,N$. These bounds match if the total number of messages $M$ is an integer multiple of the number of desired messages $P$, i.e., $\frac{M}{P} \in \mathbb{N}$. In this case, $C_s^P=\frac{1-\frac{1}{N}}{1-(\frac{1}{N})^{M/P}}$. The achievable scheme in this case generalizes the single-message capacity achieving scheme to have unbalanced number of stages per round of download. For all the remaining cases, the difference between the lower and upper bound is at most $0.0082$, which occurs for $M=5$, $P=2$, $N=2$. Our results indicate that joint retrieval of desired messages is more efficient than successive use of single-message retrieval schemes.

研究动机与目标

• 确定从 N 个不相互通信的复制数据库中进行多消息私有信息检索（MPIR）的信息论和容量。
• 分析联合检索 P 个消息与逐个使用单消息 PIR 方案检索的效率增益。
• 为所有 M、P、N 推导出和容量的紧密下界与上界，特别是当 M/P 不是整数时。
• 提出一种基于 MDS 编码混合与非平衡下载阶段的新可实现方案，将单消息 PIR 扩展至多消息检索。
• 证明联合检索在隐私约束下可实现更高的检索速率，并达到信息论最优。

提出的方法

• 通过所有消息的 MDS 编码混合，推导出当 P ≥ M/2 时的和容量为 C_s^P = 1 / (1 + (M−P)/(PN))。
• 提出一种针对 P ≤ M/2 的新颖可实现方案，基于每轮的非平衡下载阶段，推广单消息 PIR 方案。
• 建立答案字符串熵的归纳关系，将 M 消息的 MPIR 问题简化为 (M−2P) 消息问题。
• 利用熵不等式和干扰条件化引理，推导出下载成本的上界。
• 将单消息 PIR 中的对称性与对齐原理扩展至多消息场景，以处理多个期望消息。
• 对界进行数值评估，表明下界与上界之间的差距最大为 0.0082，出现在 N=2、M=5、P=2 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 当期望消息数 P 至少为总消息数 M 的一半时，MPIR 的精确信息论和容量是多少？
• RQ2 联合多消息检索的性能与逐个应用单消息 PIR 方案相比如何？
• RQ3 当 M 不是 P 的整数倍时，MPIR 和容量的最紧密可能的下界与上界是什么？
• RQ4 和容量能否以闭式表达式表示，以推广单消息 PIR 容量表达式？
• RQ5 在所有参数值中，和容量的下界与上界之间的最大差距是多少？

主要发现

• 当 P ≥ M/2 时，精确和容量为 C_s^P = 1 / (1 + (M−P)/(PN))，通过所有消息的 MDS 编码混合实现。
• 当 P ≤ M/2 且 M/P 为整数时，和容量为 C_s^P = (1 − 1/N) / (1 − (1/N)^{M/P})，该表达式推广了单消息 PIR 容量。
• 当 M/P 不为整数时，和容量的下界与上界之间的差距最大为 0.0082，最坏情况出现在 N=2、M=5、P=2 时。
• 针对 P ≤ M/2 提出的可实现方案采用每轮非平衡的下载阶段，实现了跨数据库干扰的有效对齐。
• 联合检索多个消息严格优于顺序单消息检索，表明在信息论设置下存在根本性的效率增益。
• 对答案字符串熵的归纳界使得和容量可递归推导，推广了先前工作中单消息情形的归纳方法。