[论文解读] The asymptotics of the analytic torsion on CR manifolds with $S^1$ action

Chin-Yu Hsiao, Rung-Tzung Huang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文建立了在具有横截性CR $S^1$-作用的紧致强拟凸CR流形上，解析 torsion 的傅里叶分量的渐近公式，通过热核与谱方法，将Bismut与Vasserot在正线丛上对全纯 torsion 的渐近公式推广至CR情形。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected strongly pseudoconvex CR manifold of dimension $2n+1, n \ge 1$ with a transversal CR $S^1$-action on $X$. We introduce the Fourier components of the Ray-Singer analytic torsion on $X$ with respect to the $S^1$-action. We establish an asymptotic formula for the Fourier components of the analytic torsion with respect to the $S^1$-action. This generalizes the asymptotic formula of Bismut and Vasserot on the holomorphic Ray-Singer torsion associated with high powers of a positive line bundle to strongly pseudoconvex CR manifolds with a transversal CR $S^1$-action.

研究动机与目标

• 将此前仅知于复流形上正线丛的全纯解析 torsion 渐近公式，推广至具有横截性 $S^1$-作用的强拟凸CR流形情形。
• 利用谱论定义并分析此类CR流形上Ray-Singer解析 torsion 的傅里叶分量。
• 在高权极限下建立解析 torsion 的渐近展开式，类比复几何情形。
• 为研究作为复轨道丛上圆丛的CR流形上的解析 torsion 提供一个框架，相较于一般轨道丛方法更为平滑。

提出的方法

• 引入CR流形 $X$ 上微分形式关于 $S^1$-作用的傅里叶分解，将 $T$（$S^1$-作用的无穷小生成元）的第 $m$ 个特征空间定义为 $\Omega^{0,\bullet}_m(X)$。
• 建立一个典范同构 $A_m: \Omega^{0,\bullet}_m(X) \to \Omega^{0,\bullet}(M, L^m)$，将 $X$ 上的CR Dolbeault复形与底面复流形 $M$ 上取值于正线丛 $L$ 的高次幂的Dolbeault复形联系起来。
• 利用热核方法分析 $X$ 上的Kohn Laplacian $\Box_{b,m}$，并通过同构 $A_m$ 将其谱性质与 $M$ 上的Kodaira Laplacian $\Box_m$ 关联。
• 通过热算子的Mellin变换与谱 zeta 函数技术，推导出解析 torsion 的渐近展开式。
• 应用热核展开与曲率迹恒等式，计算渐近公式中的首项，涉及曲率形式 $R^L$ 与CR结构的Ricci曲率 $\dot{\mathcal{R}}$。
• 利用Riemann zeta函数及其导数计算谱 zeta 函数在零处的取值，最终导出包含 $\log \det(\frac{m \dot{R}^L}{2\pi})$ 的渐近表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有横截性 $S^1$-作用的CR流形上，高权傅里叶分量的解析 torsion 的渐近行为如何？
• RQ2 Bismut-Vasserot在正线丛上对全 holomorphic torsion 的渐近公式能否推广至CR情形？
• RQ3 此类CR流形上解析 torsion 的渐近展开式中，精确的首项是什么？
• RQ4 CR流形的曲率与谱数据如何影响torsion的渐近行为？

主要发现

• 本文推导出在具有横截性 $S^1$-作用的紧致强拟凸CR流形上，解析 torsion 的傅里叶分量的渐近公式，当权重 $m \to \infty$ 时成立。
• 渐近展开的首项为 $\frac{\operatorname{rk}F}{2} \int_M \log\left(\det\left(\frac{m\dot{R}^L}{2\pi}\right)\right) e^{m\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}R^L} + o(m^n)$，与复几何情形下的Bismut-Vasserot公式一致。
• 谱 zeta 函数 $\widetilde{\zeta}(z)$ 以曲率算子 $\dot{\mathcal{R}}$ 和Riemann zeta函数表示，从而可通过 $\zeta(0) = -1/2$ 与 $\zeta'(0) = -\frac{1}{2}\log(2\pi)$ 计算 $\widetilde{\zeta}'(0)$。
• 解析 torsion 被证明等价于热核迹的 $S^1$-不变部分，且 torsion 的第 $m$ 个傅里叶分量对应于底面流形上的 $L^m$-扭曲Dolbeault上同调。
• 曲率项 $\dot{R}^L$ 来自Levi形式在接触分布上的限制，其行列式出现在torsion的对数校正项中。
• 结果表明，CR流形 $X$（即圆丛）上的解析 torsion 重现了底面复流形 $M$ 上已知的全纯 torsion，建立了CR几何与复几何之间深刻的联系。