[论文解读] The $B_\infty$-structure on the derived endomorphism algebra of the unit in a monoidal category

Wendy Lowen, Michel Van den Bergh|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文在具有足够投射对象和平坦投射函子的张量范畴中，建立了该范畴的张量单位的导出自同态代数上的 $B_\infty$-代数结构。通过将单位的 $A_\infty$-余代数结构上移至其投射化解，该化解的共霍赫希尔德复形成为与导出自同态代数 quasi-isomorphic 的 $B_\infty$-代数，从而在代数双模的范畴背景下恢复并推广了经典的霍赫希尔德上同调结果。

ABSTRACT

Consider a monoidal category which is at the same time abelian with enough projectives and such that projectives are flat on the right. We show that there is a $B_{\infty}$-algebra which is $A_{\infty}$-quasi-isomorphic to the derived endomorphism algebra of the tensor unit. This $B_{\infty}$-algebra is obtained as the co-Hochschild complex of a projective resolution of the tensor unit, endowed with a lifted $A_{\infty}$-coalgebra structure. We show that in the classical situation of the category of bimodules over an algebra, this newly defined $B_{\infty}$-algebra is isomorphic to the Hochschild complex of the algebra in the homotopy category of $B_{\infty}$-algebras.

研究动机与目标

• 在具有足够同调结构的张量范畴中，构造张量单位的导出自同态代数上的 $B_\infty$-代数结构。
• 将德利涅关于霍赫希尔德上同调的猜想推广至超越代数双模范畴的张量范畴设定。
• 使用投射化解的共霍赫希尔德复形，提供一种新的、直接的 $B_\infty$-结构构造方法。
• 证明在经典情形 $\mathrm{Bimod}(A)$ 下，该构造在同伦范畴中给出与代数 $A$ 的霍赫希尔德复形同构的 $B_\infty$-代数。
• 阐明在单位化解的背景下，共霍赫希尔德复形与霍赫希尔德复形之间的关系。

提出的方法

• 利用投射对象的平坦性与正合性条件，将张量单位 $I$ 上的平凡 $A_\infty$-余代数结构上移到其投射化解 $P$ 上。
• 构造共霍赫希尔德复形 $\mathbf{C}_{\mathrm{coHoch}}(P) = \prod_n \Sigma^{-n} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(P, P^{\otimes n})$ 作为候选的 $B_\infty$-代数。
• 为共霍赫希尔德复形赋予共霍赫希尔德微分与共括号运算，形成与霍赫希尔德复形对偶的 $B_\infty$-结构。
• 在共霍赫希尔德复形与导出自同态代数 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ 之间建立 $A_\infty$-quasi-isomorphism。
• 证明当 $\mathcal{A} = \mathrm{Bimod}(A)$ 时，巴尔化解 $\tilde{B}A$ 的共霍赫希尔德复形在 $B_\infty$-代数的同伦范畴中同构于 $A$ 的霍赫希尔德复形。
• 利用同伦投射性与 $k$-投射性假设，确保在导出范畴中保持 quasi-isomorphism 与兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有足够同调结构的张量范畴中，能否在导出自同态代数上自然地构造出张量单位的 $B_\infty$-代数结构？
• RQ2 在该类范畴中，单位的投射化解的共霍赫希尔德复形与导出自同态代数之间有何关系？
• RQ3 在 $\mathrm{Bimod}(A)$ 的情形下，巴尔化解 $\tilde{B}A$ 的共霍赫希尔德复形是否作为 $B_\infty$-代数与 $A$ 的霍赫希尔德复形 quasi-isomorphic？
• RQ4 在导出范畴中，霍赫希尔德复形与共霍赫希尔德复形上的 $B_\infty$-结构之间的确切关系为何？
• RQ5 能否不依赖高阶范畴或运算符理论工具，直接构造出导出自同态代数上的 $B_\infty$-结构？

主要发现

• 在具有足够投射对象和平坦投射函子的张量范畴 $\mathcal{A}$ 中，张量单位的导出自同态代数 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ 具备 $B_\infty$-代数结构。
• 该 $B_\infty$-结构源于单位的投射化解 $P$ 的共霍赫希尔德复形，并通过上移的 $A_\infty$-余代数结构赋予。
• 所得的 $B_\infty$-代数与 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ 之间存在 $A_\infty$-quasi-isomorphism，从而提供了一种新的、直接的 $B_\infty$-结构构造方法。
• 在经典情形 $\mathcal{A} = \mathrm{Bimod}(A)$ 下，巴尔化解 $\tilde{B}A$ 的共霍赫希尔德复形在 $B_\infty$-代数的同伦范畴中同构于 $A$ 的霍赫希尔德复形。
• 该构造恢复并推广了肖克捷与赫尔曼的早期结果，为张量范畴中的 $B_\infty$-结构提供了统一的视角。
• 霍赫希尔德复形与共霍赫希尔德复形之间的对偶性体现为：前者具有非零的括号运算，后者具有非零的共括号运算，然而在导出设定中，它们作为 $B_\infty$-代数是同构的。