[论文解读] The Batchelor spectrum of passive scalar turbulence in stochastic fluid mechanics at fixed Reynolds number

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 104被引用 5

一句话总结

本文通过取分子扩散系数趋于零（$\kappa \to 0$）的极限，严格证明了在固定雷诺数下，二维和三维随机流体流动中被动标量湍流的巴彻勒预测——即$|k|^{-1}$幂律谱。研究建立了在$H^{-\epsilon}$空间中的统计平稳、弱解，其在小尺度上表现出巴彻勒谱，具有非零的异常通量，并通过类似昂萨格（Onsager）的临界性结果，确定了精确的正则性阈值。

ABSTRACT

In 1959, Batchelor predicted that the stationary statistics of passive scalars advected in fluids with small diffusivity $κ$ should display a $|k|^{-1}$ power spectrum along an inertial range contained in the viscous-convective range of the fluid model. This prediction has been extensively tested, both experimentally and numerically, and is a core prediction of passive scalar turbulence. In this article we provide a rigorous proof of a version of Batchelor's prediction in the $κ o 0$ limit when the scalar is subjected to a spatially-smooth, white-in-time stochastic source and is advected by the 2D Navier-Stokes equations or 3D hyperviscous Navier-Stokes equations in $\mathbb{T}^d$ forced by sufficiently regular, nondegenerate stochastic forcing. Although our results hold for fluids at arbitrary Reynolds number, this value is fixed throughout. Our results rely on the quantitative understanding of Lagrangian chaos and passive scalar mixing established in our recent works. Additionally, in the $κ o 0$ limit, we obtain statistically stationary, weak solutions in $H^{-ε}$ to the stochastically-forced advection problem without diffusivity. These solutions are almost-surely not locally integrable distributions with non-vanishing average anomalous flux and satisfy the Batchelor spectrum at all sufficiently small scales. We also prove an Onsager-type criticality result which shows that no such dissipative, weak solutions with a little more regularity can exist.

研究动机与目标

• 提供巴彻勒关于分子扩散系数趋于零（$\kappa \to 0$）极限下被动标量湍流预测的严格数学证明。
• 建立零扩散系数（$\kappa = 0$）时，自展-扩散方程在$H^{-\epsilon}$空间中统计平稳、弱解的存在性。
• 证明这些极限解在小尺度上表现出巴彻勒谱$|k|^{-1}$，即使它们并非局部可积分布。
• 证明类似昂萨格的临界性结果，表明在$H^{-\epsilon}$正则性略高于$L^2_t B^{0}_{2,\infty}$的弱解中，不存在此类耗散性弱解。

提出的方法

• 对带有$\kappa > 0$的随机强迫自展-扩散方程进行形式分析，使用时间白噪声、空间平滑的源项$s_t = b(x)\beta_t$。
• 应用定量拉格朗日混沌与增强耗散估计，以控制流体速度$u_t$中的混合与谱衰减。
• 利用频率局部化的通量分解（$\mathcal{I}_{HL}$与$\mathcal{I}_{LH}$）来控制标量通量平衡中的非线性相互作用。
• 引入权重函数$M(N)$与Besov空间范数$B_{2,\infty}^M$，以量化正则性并控制$\kappa \to 0$极限下的通量。
• 证明不变测度$\mu^\kappa$在$\kappa \to 0$时的弱收敛性，从而得到零扩散系数问题的极限平稳测度$\mu^0$。
• 通过$B_{2,\infty}^M$空间中的矩估计与通量恒等式，采用反证法，确立此类解存在的正则性阈值的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定雷诺数下，随机二维和三维纳维-斯托克斯流中，被动标量湍流在$\kappa \to 0$极限下是否会出现巴彻勒谱$|k|^{-1}$？
• RQ2 零扩散系数自展问题的统计平稳、弱解是否存在于$H^{-\epsilon}$空间中？它们在小尺度上是否表现出巴彻勒谱？
• RQ3 极限$\kappa = 0$解中的通量是否非零？这对被动标量湍流中的能量级联意味着什么？
• RQ4 在$\kappa = 0$情形下，耗散性弱解存在的临界正则性阈值是什么？它与昂萨格型临界性有何关联？
• RQ5 拉格朗日混沌、增强耗散与谱衰减之间的相互作用，如何确保在$\kappa \to 0$极限下惯性区幂律的出现？

主要发现

• 本文证明，在$\kappa \to 0$极限下，标量的$L^2$功率谱在惯性区收敛于巴彻勒谱$|k|^{-1}$，该结果在所有足够小的尺度上成立。
• 零扩散系数自展问题（$\kappa = 0$）在$H^{-\epsilon}$空间中存在统计平稳、弱解，且这些解几乎必然不是局部可积分布。
• 极限解$\mu^0$表现出非零的平均异常通量，其中$\chi = \|b\|_{L^2}^2 > 0$，证实了向高频的级联。
• 建立了类似昂萨格的临界性结果：在$L^2_t B^{0}_{2,\infty}$空间中，不存在此类耗散性弱解，表明当$M(N) \sim N$时，$B_{2,\infty}^M$为精确的正则性阈值。
• 通量平衡恒等式$\mathbf{E}_{\mu^0}\langle \pi_{\leq N}g, \pi_{\leq N}\nabla\cdot(ug) \rangle = \frac{1}{2}\|\pi_{\leq N}b\|_{L^2}^2$在极限下成立，其与$O(M(N)^{-2})$估计的矛盾，证实了正则性阈值的精确性。
• 谱行为被严格关联于增强耗散、拉格朗日混沌与频率局部化非线性通量估计之间的相互作用，确保了惯性区中$|k|^{-1}$的标度行为。