[论文解读] The Beilinson-Drinfeld Grassmannian and symplectic knot homology

Joel Kamnitzer|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文通过使用 Beilinson-Drinfeld Grassmannian 和几何 Satake 对应关系，将 Seidel-Smith 与 Manolescu 的辛结同调构造推广至一个通用框架。对于任意复数半单群及一组极小权的主导权，本文在 ℙ¹ 上的带色点配置空间上构造了一个纤维丛，证明其纤维的中间上同调同构于相应张量积表示的不变子空间，且通过单值作用实现 braid 群作用，并在 SL(m) 情况下自然同构于辛结同调。

ABSTRACT

Seidel-Smith and Manolescu constructed knot homology theories using symplectic fibrations whose total spaces were certain varieties of matrices. These knot homology theories were associated to $SL(n) $ and tensor products of the standard and dual representations. In this paper, we place their geometric setups in a natural, general framework. For any complex reductive group and any sequence of minuscule dominant weights, we construct a fibration of affine varieties over a configuration space. The middle cohomology of these varieties is isomorphic to the space of invariants in the corresponding tensor product of representations. Our construction uses the Beilinson-Drinfeld Grassmannian and the geometric Satake correspondence.

研究动机与目标

• 将 Seidel-Smith 与 Manolescu 的几何设定置于辛结同调的通用、自然框架中。
• 利用 Beilinson-Drinfeld Grassmannian，在 ℙ¹ 上的带色点配置空间上构造一个光滑复仿射代数簇的纤维丛。
• 证明纤维的中间上同调同构于张量积表示的不变子空间，并带有对称群作用。
• 将 Seidel-Smith（SL₂）与 Manolescu（SLₘ）的已知构造作为该通用框架的特例恢复。
• 证明 braid 群作用在导出 Fukaya 类别上自然来源于该纤维丛中的单值作用。

提出的方法

• 在带色配置空间 Confₗambda = (ℙ¹)^n_reg / Σₗambda 上构造一个光滑复仿射代数簇的纤维丛，即 Beilinson-Drinfeld Grassmannian。
• 定义在点 x 处的纤维为 ℙ¹ 上 G^∨-丛的 Hecke 变换模空间，其在无穷远处平凡化，且在每个 x_i 处具有指定类型 λ_i。
• 利用几何 Satake 对应关系，证明纤维的中间上同调作为 Σₗambda-表示同构于 (V^{λ₁} ⊗ ⋯ ⊗ V^{λₙ})^G。
• 利用 Beilinson-Drinfeld Grassmannian 的因子化性质，证明类似于 Manolescu 与 Seidel-Smith 中关键引理的局部陈述。
• 证明当 G = SLₘ 且 λ = (1,…,1,m−1,…,m−1) 时，该纤维丛在 ℂ 上的限制同构于 Manolescu 研究的矩阵空间。
• 通过嵌入到 GLₘ-Grassmannian 并利用 Grothendieck 定理关于 T-丛的平凡性，证明纤维为仿射代数簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Seidel-Smith 与 Manolescu 的几何设定从 SL₂ 和 SLₘ 推广至任意半单群及极小权？
• RQ2 通过 ℙ¹ 上 G^∨-丛的 Hecke 变换，辛结同调的自然模形式构造是什么？
• RQ3 配置空间基本群的单值作用如何实现张量积表示不变子空间上的对称群作用？
• RQ4 Beilinson-Drinfeld Grassmannian 以何种方式为这些构造提供通用框架？
• RQ5 为何该纤维丛的纤维是仿射的？该性质如何支持辛范畴的构造？

主要发现

• 在配置空间任意点处，纤维的中间上同调作为 Σₗambda-表示同构于不变子空间 (V^{λ₁} ⊗ ⋯ ⊗ V^{λₙ})^G。
• π₁(Confₗambda) 在纤维上同调上的单值作用通过对称群 Σₗambda 因子化。
• 当 G = SLₘ 且权为 (1,…,1,m−1,…,m−1) 时，该纤维丛在 ℂ 上的限制同构于 Manolescu 研究的矩阵空间，从而恢复其构造。
• 当 G = SL₂ 时，该构造作为特例恢复了 Seidel-Smith 研究的纤维丛。
• 该纤维丛的纤维为仿射代数簇，其证明基于忠实表示与 Grothendieck 关于 ℙ¹ 上 T-丛平凡性的定理。
• 通过构造 Y 为商空间上的乘以 z 算子，建立了 Beilinson-Drinfeld Grassmannian 与矩阵空间之间的同构。