[论文解读] The Birch and Swinnerton-Dyer Formula for Elliptic Curves of Analytic Rank One

Dimitar Jetchev, Christopher Skinner+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 16

一句话总结

该论文通过反向同调 Iwasawa 理论与控制定理，比较 Selmer 群，证明了在解析秩为一的半稳定椭圆曲线情形下，Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式中 $p$-部分的成立性。关键结果表明，对于所有满足 $p \geq 5$ 且在奇异情形下 $a_p(E) = 0$ 的素数 $p$，$L$-函数中心导数的 $p$-进赋值等于 Tate–Shafarevich 群与 Tamagawa 数乘积的 $p$-进赋值。

ABSTRACT

Let $E/\mathbb{Q}$ be a semistable elliptic curve such that $\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s) = 1$. We prove the $p$-part of the Birch and Swinnerton-Dyer formula for $E/\mathbb{Q}$ for each prime $p \geq 5$ of good reduction such that $E[p]$ is irreducible: $$ \mathrm{ord}_p \left (\frac{L'(E,1)}{Ω_E\cdot\mathrm{Reg}(E/\mathbb{Q})} ight ) = \mathrm{ord}_p \left (\#\mathrm{Sha}(E/\mathbb{Q})\prod_{\ell\leq \infty} c_\ell(E/\mathbb{Q}) ight ). $$ This formula also holds for $p=3$ provided $a_p(E)=0$ if $E$ has supersingular reduction at $p$.

研究动机与目标

• 证明解析秩为一的 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式中 $p$-部分的成立性。
• 扩展先前结果，消除对 Tamagawa 数的限制，并允许 $p$ 处为普通或奇异约化。
• 通过反向同调 Iwasawa 理论统一处理普通与奇异情形。
• 验证 $L$-函数中心导数的 $p$-进赋值与 Tate–Shafarevich 群及 Tamagawa 数乘积的 $p$-进赋值相等。
• 推广先前需额外假设（如 $p$-非异常约化或 $p$-互素的 Tamagawa 因子）的结果。

提出的方法

• 利用适当的虚二次域 $\mathcal{K}'$ 上的反向同调 Iwasawa 理论，将 $p$-进 $L$-值与 Selmer 群联系起来。
• 应用控制定理（定理 3.3.1），比较 $\Lambda$-余挠 Selmer 群与 $\mathbb{Z}_p$-余挠 Selmer 群。
• 利用 Gross–Zagier 公式与 $p$-进高度非零性，控制 $p$-主 Selmer 群的大小。
• 将 $p$-进 Gross–Zagier 公式与 Wan 对奇异 $p$-进 $L$-函数的 Iwasawa 主猜想的工作相结合。
• 利用 Heegner 点的 $p$-进高度非零性，建立 Tate–Shafarevich 群 $p$-主部分的下界。
• 应用 BSD 公式中 $p$-部分的秩 0 情形（通过定理 7.2.1），控制 $E$ 的扭化 $L$-函数在特殊值处的取值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \geq 5$ 且 $E[p]$ 不可约时，解析秩为一的椭圆曲线的 BSD 公式中 $p$-部分是否成立？
• RQ2 该公式能否推广至 $p$ 整除 Tamagawa 数的情形？
• RQ3 在 $p=3$ 的奇异情形下，若满足 $a_p(E) = 0$，该公式是否仍成立？
• RQ4 在 Iwasawa 理论框架下，能否统一处理普通与奇异情形？
• RQ5 在不假设 $p$-互素的 Tamagawa 因子或非异常约化的情形下，$p$-部分的 BSD 公式是否仍成立？

主要发现

• 对于所有满足 $p \geq 5$、$E[p]$ 不可约且 $\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s) = 1$ 的好约化素数 $p$，BSD 公式的 $p$-部分成立。
• 当 $p = 3$ 时，若 $E$ 在 $p$ 处为奇异约化且满足 $a_p(E) = 0$，则公式成立。
• 通过 $\#\cyr X(E/\mathbb{Q})[p^\infty]$ 的上下界，建立了 $\mathrm{ord}_p\left(\frac{L'(E,1)}{\Omega_E \cdot \mathrm{Reg}(E/\mathbb{Q})}\right) = \mathrm{ord}_p\left(\#\cyr X(E/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\ell} c_\ell(E/\mathbb{Q})\right)$ 的等式。
• 证明通过单一框架（基于反向同调 Iwasawa 理论与控制定理）统一了普通与奇异情形。
• 该结果扩展了先前工作，消除了对 $p$-互素 Tamagawa 因子与非异常约化等假设。
• 该方法依赖于 Heegner 点的 $p$-进高度非零性与 $p$-进 Gross–Zagier 公式，二者在给定假设下已被证明成立。