[论文解读] The black hole information puzzle and the quantum de Finetti theorem

Renato Renner, Jinzhao Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 95被引用 11

一句话总结

本文通过表明霍金的热辐射熵与佩奇曲线之间的差异源于不同的熵测量方式，解决了黑洞信息佯谬：霍金计算的是无条件熵 $S(R)$，而复制技巧计算的是条件熵 $S(R|W)$，其中 $W$ 是一个量子参考系统。量子德·菲内蒂定理为 $W$ 作为参考提供了理论依据，而复制虫洞则从几何上表征了其编码的关联，从而在多黑洞极限下统一了引力与量子力学。

ABSTRACT

The black hole information puzzle arises from a discrepancy between conclusions drawn from general relativity and quantum theory about the nature of the radiation emitted by a black hole. According to Hawking's original argument, the radiation is thermal and its entropy thus increases monotonically as the black hole evaporates. Conversely, due to the reversibility of time evolution according to quantum theory, the radiation entropy should start to decrease after a certain time, as predicted by the Page curve. This decrease has been confirmed by new calculations based on the replica trick, which also exhibit its geometrical origin: spacetime wormholes that form between the replicas. Here we analyse the discrepancy between these and Hawking's original conclusions from a quantum information theory viewpoint, using in particular the quantum de Finetti theorem. The theorem implies the existence of extra information, $W$, which is neither part of the black hole nor the radiation, but plays the role of a reference. The entropy obtained via the replica trick can then be identified to be the entropy $S(R|W)$ of the radiation conditioned on the reference $W$, whereas Hawking's original result corresponds to the non-conditional entropy $S(R)$. The entropy $S(R|W)$, which mathematically is an ensemble average, gains an operational meaning in an experiment with $N$ independently prepared black holes: For large $N$, it equals the normalised entropy of their joint radiation, $S(R_1 \cdots R_N)/N$. The discrepancy between this entropy and $S(R)$ implies that the black holes are correlated. The replica wormholes may thus be interpreted as the geometrical representation of this correlation. Our results also suggest a many-black-hole extension of the widely used random unitary model, which we support with non-trivial checks.

研究动机与目标

• 通过澄清霍金的热辐射熵与佩奇曲线之间的差异，解决黑洞信息佯谬。
• 明确复制技巧所计算熵的操作与物理意义，该熵与霍金的无条件熵不同。
• 表明复制技巧计算的是 $S(R|W)$，其中 $W$ 是不包含在黑洞或辐射中的量子参考系统，基于量子德·菲内蒂定理。
• 将复制虫洞的几何结构解释为多个黑洞之间量子关联的时空表现。
• 将广泛使用的随机酉模型推广至多黑洞系统，并通过非平凡的一致性检验支持其有效性。

提出的方法

• 应用量子德·菲内蒂定理，表明 $N$ 个独立黑洞的辐射态具有可交换性，从而表明存在一个参考系统 $W$。
• 识别出复制技巧的输出为条件熵 $S(R|W)$，即给定参考 $W$ 时辐射的熵，而非无条件熵 $S(R)$。
• 使用迹距离界定 $N$ 个黑洞的联合辐射态与 $N$ 个副本上的乘积态之间的偏差，表明当 $N \to \infty$ 时收敛。
• 构建辐射态的置换不变纯化，并利用量子 $t$-设计来模拟典型酉演化。
• 推导出实际态与 $N$ 个黑洞上的乘积态之间迹距离的界限，表明偏差随 $\mathcal{O}(\sqrt{n/N})$ 变化，其中 $n$ 为辐射量子数。
• 证明条件熵 $S(R|W)$（在大 $N$ 下操作定义为 $S(R_1\cdots R_N)/N$）与复制技巧结果一致，从而为 $S(R|W)$ 在多黑洞实验中赋予了操作意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何复制技巧产生递减的熵曲线（即佩奇曲线），而霍金的计算却给出单调递增的结果，尽管两者描述的是同一物理过程？
• RQ2 通过复制技巧计算的熵 $S(R|W)$ 的物理与操作意义是什么？它与标准冯·诺依曼熵 $S(R)$ 有何不同？
• RQ3 量子参考系统 $W$ 在调和两种熵测量方式中起什么作用？其理论依据是什么？
• RQ4 复制虫洞的几何结构如何被解释为多个黑洞之间量子关联的时空表现？
• RQ5 广泛使用的随机酉模型能否推广至多黑洞情形？该推广是否与复制技巧及量子德·菲内蒂原理一致？

主要发现

• 通过复制技巧计算的熵是条件熵 $S(R|W)$，其中 $W$ 是不包含在黑洞或辐射中的量子参考系统，而霍金计算的是无条件熵 $S(R)$。
• 佩奇曲线与霍金结果之间的差异源于熵测量方式的不同，而非幺正性的失效。
• 参考系统 $W$ 具有操作意义：对于 $N$ 个独立制备的黑洞，$S(R|W)$ 在大 $N$ 极限下等于归一化的联合熵 $S(R_1\cdots R_N)/N$。
• 引力路径积分中的复制虫洞是 $W$ 所编码的量子关联的几何表示，虫洞几何源于辐射态的可交换结构。
• 实际态与 $N$ 个黑洞上的乘积态之间的偏差被限制在 $\mathcal{O}(\sqrt{n/N})$ 以内，其中 $n$ 为辐射量子数，表明随着 $N$ 增大，偏差趋近于预期行为。
• 本文支持将随机酉模型推广至多黑洞情形，非平凡的一致性检验证实了其在 $N \to \infty$ 极限下的有效性。