[论文解读] The boundary of random planar maps via looptrees

Igor Kortchemski, Loïc Richier|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文研究了在不同后代分布下，由条件化Bienaymé–Galton–Watson树导出的环形树（looptrees）的尺度极限。对于临界、方差有限的后代分布，尺度极限为布朗运动连续随机树（Brownian continuum random tree）；对于重尾、亚临界的后代分布，极限为单位圆的倍数，反映了凝聚现象。这些结果证实了[CK14]中的一个预测，并完成了在非通用临界情形下随机平面图中大面的拓扑相变分析。

ABSTRACT

We study the scaling limits of looptrees associated with Bienaymé--Galton--Watson (BGW) trees, that are obtained by replacing every vertex of the tree by a "cycle" whose size is its degree. First, we consider BGW trees whose offspring distribution is critical and in the domain of attraction of a Gaussian distribution. We prove that the Brownian CRT is the scaling limit of the associated looptrees, thereby confirming a prediction of [CK14b]. Then, we deal with BGW trees whose offspring distribution is critical and heavy-tailed. We show that the scaling limit of the associated looptrees is a multiple of the unit circle. This corresponds to a so-called condensation phenomenon, meaning that the underlying tree exhibits a vertex with macroscopic degree. Here, we rely on an invariance principle for random walks with negative drift, which is of independent interest. Finally, we apply these results to the study of the scaling limits of large faces of Boltzmann planar maps. We complete the results of [Ric17] and establish a phase transition for the topology of these maps in the non-generic critical regime.

研究动机与目标

• 建立与临界、方差有限的Bienaymé–Galton–Watson树相关的环形树的尺度极限，确认[CK14]中的一个预测。
• 分析在重尾、亚临界后代分布下环形树的尺度极限，其中由于存在宏观度数的顶点，出现凝聚现象。
• 将这些环形树的极限结果应用于刻画玻尔兹曼平面图中大面的拓扑结构，特别是在非通用临界情形下。
• 为具有负漂移的随机游动建立一个不变性原理，该原理在重尾情形下起关键作用。

提出的方法

• 通过将平面树中每个顶点替换为长度等于其度数的环，构造环形树，同时保持树的组合结构。
• 使用Gromov–Hausdorff拓扑研究在顶点数趋于无穷时，缩放后环形树的尺度极限。
• 在临界、方差有限的情形下，对树的探索过程应用功能中心极限定理，从而收敛到布朗运动连续随机树。
• 在重尾、亚临界的情形下，采用脊部分解法，并利用具有负漂移的随机游动的不变性原理，证明收敛到单位圆的倍数。
• 利用树的轮廓函数及其与环形树度量结构的关系，推导尺度极限。
• 通过分析其边界分量的尺度极限，将环形树结果应用于玻尔兹曼平面图，将环形树作为大面的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 与临界、方差有限的Bienaymé–Galton–Watson树相关的环形树的尺度极限是什么？
• RQ2 与亚临界、重尾后代分布相关的环形树如何缩放，凝聚现象起到什么作用？
• RQ3 具有负漂移的随机游动的不变性原理是否可用于推导重尾情形下环形树的尺度极限？
• RQ4 在非通用临界情形下，玻尔兹曼平面图边界的拓扑相变是什么？
• RQ5 环形树的结果如何完成对随机平面图中大面尺度极限的理解？

主要发现

• 对于临界、方差有限的后代分布，缩放后的环形树在Gromov–Hausdorff拓扑下依分布收敛到布朗运动连续随机树。
• 对于亚临界、重尾后代分布且尾指数β > 1的情形，缩放后的环形树收敛到单位圆的倍数，表明由于存在宏观度数的顶点而出现凝聚现象。
• 重尾情形下的收敛性依赖于一个新颖的具有负漂移的随机游动的不变性原理，该原理本身具有独立兴趣。
• 结果证实了[CK14]关于临界、方差有限情形下环形树尺度极限的预测。
• 本文完成了在非通用临界情形下玻尔兹曼平面图中大面拓扑相变的分析，揭示了从树状结构到环状边界结构的转变。