[论文解读] The boundness of weighted Coxeter groups of rank 3

Jianwei Gao|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文证明了秩为3且具有正权函数的加权考赛特群在吕斯蒂格意义下是有界的，从而证实了该情形下吕斯蒂格的猜想。作者证明了有限抛物子群中最长元素的最大权值可作为Hecke代数中乘积次数的通用界，从而得出最低双侧细胞的存在性以及a-函数的有界性。

ABSTRACT

We prove that a weighted Coxeter group (W,S,L) is bounded in the sense of G.Lusztig if the rank of W is 3.

研究动机与目标

• 证明吕斯蒂格关于秩为3的加权考赛特群在正权函数下的有界性猜想。
• 确立有限抛物子群中最长元素的最大权值可作为Hecke代数乘积的通用界。
• 描述秩为3的加权考赛特群中最低双侧细胞的结构。
• 证明a-函数由该最大权值有界，并研究其与最低双侧细胞的关系。

提出的方法

• 使用Hecke代数及其标准基 $\{T_w\}$，通过次数函数 $\deg f_{x,y,z}$ 分析乘积的次数。
• 应用对合运算和卡兹丹-吕斯蒂格基 $\{C_w\}$，将细胞理论与次数界联系起来。
• 利用引理1.4(4)刻画 $\deg f_{x,y,z} = L(z)$ 的情形，特别是当 $x = y = w_{st}$ 或 $z = s$ 时。
• 基于抛物子群 $W_{st}$ 中间元素的长度进行情形分析，以界定 $\deg(T_x T_y)$。
• 使用分解 $T_x T_y = \sum f_{x,y,z} T_z$ 及次数比较，证明 $\deg(T_x T_y) \leq N$，其中 $N = \max L(w_I)$。
• 通过反证法及对秩为2和3的抛物子群的逐案分析，验证该界在所有情况下均成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 吕斯蒂格的有界性猜想是否对所有秩为3的加权考赛特群且具有任意正权函数成立，而无需假设 $L = l$？
• RQ2 有限抛物子群中最大权值 $N = \max L(w_I)$ 是否可作为秩为3群中 $\deg(T_x T_y)$ 的通用界？
• RQ3 秩为3的加权考赛特群中最低双侧细胞的结构是什么？
• RQ4 集合 $\{w \in W \mid a(w) = N\}$ 是否等于此情形下的最低双侧细胞 $c_0$？

主要发现

• 该有界性猜想对所有秩为3且具有正权函数的加权考赛特群成立，扩展了此前需假设 $L = l$ 的结果。
• 最大权值 $N = \max_{I \subseteq S, |W_I| < \infty} L(w_I)$ 是所有 $x, y \in W$ 的 $\deg(T_x T_y)$ 的通用界，从而在本情形下证实了吕斯蒂格的猜想。
• 最低双侧细胞 $c_0$ 存在，且包含所有满足 $a(w) = N$ 的元素 $w$，并等于任意有限抛物子群中最长元素所在的细胞。
• 元素 $w_J$ 的左细胞为 $\{x w_J \mid x \in W\} = \{y \mid \mathcal{R}(y) = J\}$，右细胞为 $\{w_J x \mid x \in W\} = \{y \mid \mathcal{L}(y) = J\}$，表明细胞具有清晰的结构。
• a-函数由 $N$ 有界，且集合 $\{w \mid a(w) = N\}$ 包含于最低双侧细胞 $c_0$ 中，有证据表明二者相等。
• 作者猜想：对所有秩为3且具有正权函数的加权考赛特群，有 $\{w \mid a(w) = N\} = c_0$，从而将已知的 $L = l$ 情形结果推广。