[论文解读] The BR1 Scheme is Stable for the Compressible Navier-Stokes Equations

Gregor J. Gassner, Andrew R. Winters+2 more|Kölner Universitäts PublikationsServer (Universität zu Köln)|Apr 12, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文证明了在满足离散度量恒等式、对度量项采用两点平均、对对流通量使用熵守恒分裂形式、基于熵变量的黏性梯度以及BR1界面通量的条件下，可压缩N-S方程的BR1格式具有可证明的稳定性。该格式在三维曲面网格上实现了能量或熵稳定性，且在内部界面处不引入人工耗散。

ABSTRACT

We show how to modify the original Bassi and Rebay scheme (BR1) [F. Bassi and S. Rebay, A High Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations, Journal of Computational Physics, 131:267--279, 1997] to get a provably stable discontinuous Galerkin collocation spectral element method (DGSEM) with Gauss-Lobatto (GL) nodes for the compressible Navier-Stokes equations (NSE) on three dimensional curvilinear meshes. Specifically, we show that the BR1 scheme can be provably stable if the metric identities are discretely satisfied, a two-point average for the metric terms is used for the contravariant fluxes in the volume, an entropy conserving split form is used for the advective volume integrals, the auxiliary gradients for the viscous terms are computed from gradients of entropy variables, and the BR1 scheme is used for the interface fluxes. Our analysis shows that even with three dimensional curvilinear grids, the BR1 fluxes do not add artificial dissipation at the interior element faces. Thus, the BR1 interface fluxes preserve the stability of the discretization of the advection terms and we get either energy stability or entropy-stability for the linear or nonlinear compressible NSE, respectively.

研究动机与目标

• 在三维空间中建立可压缩N-S方程BR1格式的可证明稳定性。
• 解决尽管BR1格式在模拟中广泛应用，但长期存在的不稳定性问题。
• 确定实现能量或熵稳定性的最小修改集合。
• 证明当正确构造时，BR1格式在内部单元界面处不引入人工耗散。
• 为复杂曲面网格提供一种稳定、无参数的DGSEM框架，采用Gauss-Lobatto节点。

提出的方法

• 使用Gauss-Lobatto节点并结合一致的度量重构，离散满足度量恒等式。
• 在体积积分中对共轭通量采用两点平均，以保持一致性。
• 对对流通量使用熵守恒分裂形式，以保持守恒性质。
• 从熵变量计算辅助梯度以处理黏性项，确保稳定性。
• 在单元界面处采用BR1数值通量，以保持简洁性和一致性。
• 通过求和分割结构，确保离散弱形式满足熵或能量稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 BR1格式能否在三维曲面网格上对可压缩N-S方程实现可证明的稳定性？
• RQ2 为确保BR1框架中能量或熵稳定性，需要哪些修改？
• RQ3 BR1格式是否在内部单元界面处引入人工耗散？
• RQ4 如何离散满足度量恒等式以保持守恒性和稳定性？
• RQ5 在对流主导流动中，BR1格式在显式时间积分下是否稳定？

主要发现

• 当离散满足度量恒等式时，BR1格式对可压缩N-S方程具有可证明的稳定性。
• 该格式对非线性方程实现熵稳定性，对线性化方程实现能量稳定性。
• 在内部单元界面处不引入人工耗散，从而保持了对解析尺度的低耗散特性。
• 该方法为无参数方法，无需惩罚参数或额外调参。
• 该稳定性结果适用于使用Gauss-Lobatto节点的三维曲面六面体单元。
• 分析结果证实，当与熵守恒分裂形式和一致的度量近似结合时，BR1界面通量可保持稳定性。