[论文解读] Infinity-Inner-Products on A-Infinity-Algebras

Thomas Tradler|ArXiv.org|Aug 3, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 27

一句话总结

本文引入了A-infinity代数上的无穷内积（∞-inner-products），将其定义为从A-infinity代数到其对偶的A-infinity双模映射，并构建了一个图复形，以编码庞加莱对偶性的同伦结构。关键贡献在于建立了一个框架，将A-infinity代数与带有∞-内积的结构联系到Hochschild上同调上的BV代数结构，通过同伦理论方法在链层面上实现了庞加莱对偶性。

ABSTRACT

In this paper the Hochschild-cochain-complex of an A-infinity-algebra A with values in an A-infinity-bimodule M over A and maps between them is defined. Then, an infinity-inner-product on A is defined to be an A-infinity-bimodule-map between A and its dual A*. There is a graph-complex associated to A-infinity-algebras with infinity-inner-product.

研究动机与目标

• 通过A-infinity双模映射，定义A-infinity代数上内积的同伦推广。
• 构建与带有∞-内积的A-infinity代数相关的图复形。
• 建立∞-内积与Hochschild上同调上BV代数结构之间的联系。
• 通过上链模型，在链层面上实现紧致流形的庞加莱对偶性。
• 将经典的保持内积的映射推广到∞-设定下，允许同伦不变结构。

提出的方法

• 通过bar余代数$T(sA)$上的coderivations，定义取值于A-infinity双模的Hochschild上链复形。
• 通过双余代数$T^{sM}(sA)$上的coderivations，引入A-infinity代数上的A-infinity双模，确保$(D^M)^2 = 0$。
• 将A-infinity双模映射定义为保持coderivations的双模间映射，从而在Hochschild上链复形上诱导出链映射。
• 将∞-内积定义为从$A$到其对偶$A^*$的A-infinity双模映射，利用$A$上的A-infinity结构。
• 从∞-内积结构构建图复形，其中图表示高阶运算与关系。
• 证明图复形中的微分满足$d^2 = 0$，从而得到一个无边界的复形，编码来自内积图的多面体结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过更高阶同伦一致性，将内积的概念推广到A-infinity代数的设定中？
• RQ2 在带有∞-内积的A-infinity代数对偶上取值的Hochschild上链复形具有何种结构？
• RQ3 ∞-内积如何生成一个图复形，以在链层面上编码庞加莱对偶性？
• RQ4 在紧致流形的上链代数上，∞-内积结构能否实现其Hochschild上同调上的BV代数结构？
• RQ5 在A-infinity代数之间，何种恰当的态射概念能保持∞-内积在同伦意义下不变？

主要发现

• A-infinity代数上的∞-内积被定义为从代数到其对偶的A-infinity双模映射，通过同伦一致结构推广了经典内积。
• 与∞-内积相关的图复形上的微分$d$满足$d^2 = 0$，确保了良好的上同调结构。
• 当$k+l=2$时，$<a,b,c>_{k,l}$的边界涉及五或六个内积图的求和，且在$d^2=0$下项的抵消导致多面体复形。
• 在紧致流形的上链代数上，∞-内积结构诱导出其Hochschild上同调上的BV代数结构，从而在链层面上实现了庞加莱对偶性。
• ∞-内积结构在同伦等价下保持不变，表明其对偶性具有同伦不变性。
• ∞-内积框架允许对Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号与Connes的$B$-算子进行同伦理论解释。