[论文解读] The Calabi flow with rough initial data

Weiyong He, Y. Zeng|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文建立了在初始数据为具有 $L^∞$-正则性的凯勒势且相对于背景度量满足小扰动条件时，卡莱比流的短时间存在性与即时光滑性。通过在紧致黎曼流形上对双调和热方程使用时间加权 Hölder 范数的 Schauder 型估计，作者证明了即使初始数据仅在 $C^{0,\gamma}$ 意义下有界，解在 $t>0$ 时也立即变得光滑。

ABSTRACT

In this paper, we prove that there exists a dimensional constant $δ> 0$ such that given any background Kähler metric $ω$, the Calabi flow with initial data $u_0$ satisfying \begin{equation*} \partial \bar \partial u_0 \in L^\infty (M) ext{ and } (1- δ)ω< ω_{u_0} < (1+δ)ω, \end{equation*} admits a unique short time solution and it becomes smooth immediately, where $ω_{u_0} : = ω+\sqrt{-1}\partial \bar\partial u_0$. The existence time depends on initial data $u_0$ and the metric $ω$. As a corollary, we get that Calabi flow has short time existence for any initial data satisfying \begin{equation*} \partial \bar \partial u_0 \in C^0(M) ext{ and } ω_{u_0} > 0, \end{equation*} which should be interpreted as a "continuous Kähler metric". A main technical ingredient is Schauder-type estimates for biharmonic heat equation on Riemannian manifolds with time weighted Hölder norms.

研究动机与目标

• 建立初始数据具有粗糙正则性时卡莱比流的短时间存在性，具体为 $\partial\bar{\partial}u_0 \in L^\infty(M)$ 且 $\omega_{u_0}$ 在 $L^\infty$ 意义下相对于光滑凯勒度量处于小邻域内。
• 证明即使初始数据不具有 $C^{2,\alpha}$ 或 $C^{3,\alpha}$ 正则性，此类解在 $t>0$ 时也立即变得光滑。
• 通过引入维数常数 $\delta>0$，在任意光滑凯勒度量周围提供一个与度量高阶导数无关的统一存在时间邻域。
• 通过逼近方法将结果推广至连续凯勒度量（$\partial\bar{\partial}u_0 \in C^0(M)$，$\omega_{u_0}>0$），从而在弱正则性框架下确认陈的猜想。
• 发展并应用在闭流形上具有时间加权 Hölder 范数的双调和热方程的 Schauder 型估计，作为核心技术工具。

提出的方法

• 利用正常坐标系与调和半径估计，建立双调和热核及其导数的统一 $L^\infty$ 有界性。
• 通过时间加权 Hölder 范数，推导闭流形上非齐次双调和热方程的统一估计。
• 利用积分估计与指数衰减界，证明卷积 $Z * \Psi$（热核与解核）关于时间 $t$ 的可微性。
• 利用参数构造与热核渐近展开，控制非齐次双调和方程解的正则性。
• 在时间加权 Hölder 空间中应用 Schauder 估计，控制 $\partial\bar{\partial}\varphi(t)$ 的导数在 $t \to 0^+$ 时的增长。
• 将上述估计与不动点论证相结合，证明粗糙初始数据下卡莱比流解的短时间存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 $\partial\bar{\partial}u_0$ 仅具有 $L^\infty$ 正则性，且 $\omega_{u_0}$ 均匀接近光滑背景度量，能否证明卡莱比流的存在性？
• RQ2 即使初始势函数不具有 $C^{2,\alpha}$ 或 $C^{3,\alpha}$ 正则性，卡莱比流是否在 $t>0$ 时立即变得光滑？
• RQ3 确保卡莱比流短时间存在的初始数据最优正则性阈值是什么？
• RQ4 能否通过逼近方法将结果推广至连续凯勒度量（$\partial\bar{\partial}u_0 \in C^0(M)$，$\omega_{u_0}>0$）？
• RQ5 当 $t \to 0^+$ 时，$\partial\bar{\partial}\varphi(t)$ 的高阶时间与空间导数的精确衰减速率是什么？

主要发现

• 存在一个维数常数 $\delta > 0$，使得对任意满足 $\partial\bar{\partial}u_0 \in L^\infty(M)$ 且 $(1-\delta)\omega < \omega_{u_0} < (1+\delta)\omega$ 的初始数据 $u_0$，卡莱比流在 $M \times (0, T_{g,u_0})$ 上存在唯一短时间解。
• 解 $\varphi(t)$ 在 $t>0$ 时立即变得光滑，即 $\varphi \in C^\infty(M \times (0, T_{g,u_0}))$。
• 当 $t \to 0^+$ 时，有 $\|\varphi(t) - u_0\|_{C^{1,\gamma}(M)} \to 0$ 对任意 $\gamma \in (0,1)$ 成立，表明在 Hölder 范数下具有强收敛性。
• 对任意 $k,l \geq 0$，加权上确界范数满足 $\limsup_{t \to 0^+} t^{k/4 + l} \| (\partial_t)^l \nabla^k \partial\bar{\partial}\varphi(t) \|_{C^0(M)} \leq C_{k/4 + l, n} \| \partial\bar{\partial}u_0 \|_{L^\infty(M)}$，表明在 $t=0$ 附近导数的爆破受到控制。
• 当 $\partial\bar{\partial}u_0 \in C^0(M)$ 时，有 $\|\varphi(t) - u_0\|_{C^1(M)} + \|\partial\bar{\partial}\varphi(t) - \partial\bar{\partial}u_0\|_{C^0(M)} \to 0$ 当 $t \to 0^+$ 时成立。
• 对任意 $k,l \geq 0$ 且 $k+l > 0$，有 $\lim_{t \to 0^+} t^{k/4 + l} \| (\partial_t)^l \nabla^k \partial\bar{\partial}\varphi(t) \|_{C^0(M)} = 0$，确认了即时光滑性。