[论文解读] The Canny-Emiris conjecture for the sparse resultant

Carlos D’Andrea, Gabriela Jeronimo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过引入多面体混合剖分的初始部分乘积公式，证明了稀疏结式的一般化Canny-Emiris猜想。作者建立在特定组合条件下，稀疏结式等于Canny-Emiris矩阵行列式除以其一个主子式的结果，将Macaulay公式推广至稀疏情形，并首次在完全一般性下确认了该猜想。

ABSTRACT

Abstract We present a product formula for the initial parts of the sparse resultant associated with an arbitrary family of supports, generalizing a previous result by Sturmfels. This allows to compute the homogeneities and degrees of this sparse resultant, and its evaluation at systems of Laurent polynomials with smaller supports. We obtain an analogous product formula for some of the initial parts of the principal minors of the Sylvester-type square matrix associated with a mixed subdivision of a polytope. Applying these results, we prove that under suitable hypothesis, the sparse resultant can be computed as the quotient of the determinant of such a square matrix by one of its principal minors. This generalizes the classical Macaulay formula for the homogeneous resultant and confirms a conjecture of Canny and Emiris.

研究动机与目标

• 解决Canny-Emiris关于以Sylvester型矩阵行列式之商计算稀疏结式的猜想。
• 将Sturmfels关于稀疏结式初始部分的乘积公式推广至任意支撑族。
• 确立稀疏结式等于Canny-Emiris矩阵行列式除以其主子式之商的条件。
• 将稀疏结式理论从本质情形扩展至完全一般情形，包括非本质支撑与非满秩格点。
• 通过混合剖分与分段仿射函数，提供统一的稀疏结式计算框架。

提出的方法

• 利用支撑集的Minkowski和的混合剖分，推导稀疏结式初始部分的乘积公式。
• 通过凸分段仿射函数及其下卷积定义Canny-Emiris矩阵，构造一个Sylvester型方阵。
• 识别Canny-Emiris矩阵中对应于混合剖分中非混合单元的主子矩阵。
• 利用构造在低维支撑集上的限制兼容性，将问题约化为更简单的情形。
• 应用环层几何与消去理论，将稀疏结式与Canny-Emiris矩阵的行列式联系起来。
• 证明Canny-Emiris矩阵的行列式是非零倍数的稀疏结式，且在可接受条件下，其除以主子式的结果即为结式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，稀疏结式等于Canny-Emiris矩阵行列式与其一个主子式之商？
• RQ2 稀疏结式的初始部分如何通过混合剖分中混合单元的乘积表达？
• RQ3 在稀疏情形下，Canny-Emiris矩阵与Macaulay公式之间的确切关系为何？
• RQ4 该构造在限制到子支撑集或低维仿射子空间时行为如何？
• RQ5 何时与一族仿射函数相关的混合剖分是可接受的，以确保商公式成立？

主要发现

• 本文证明了广义化的Canny-Emiris猜想：当相关混合剖分可接受时，稀疏结式等于Canny-Emiris矩阵行列式除以其主子式。
• 建立了稀疏结式初始部分的新乘积公式，将Sturmfels的早期结果推广至任意支撑族。
• 在主结果的特例下，齐次结式的Macaulay公式得以重现，从而为该公式提供了独立证明。
• 构造被扩展至非本质支撑与非满秩格点，确保所有情形下行为一致。
• 当混合剖分不可接受时，公式失效，反例显示在紧密的非可接受剖分中，主子式不整除行列式。
• 证明了Canny-Emiris矩阵及其主子式与子支撑集的限制兼容，从而支持递归与归纳论证。