[论文解读] The centralizer of a C1 generic diffeomorphism is trivial

Bonatti, Christian, Sylvain Crovisier+1 more|ArXiv.org|May 2, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文证明，在紧致连通流形上的任意 $C^1$ 微分同胚，其中心化子——即与之可交换的微分同胚全体——是平凡的，这意味着唯一与之可交换的是该微分同胚自身的整数次幂。证明结合了局部扰动技巧与全局结构论证，利用 $C^1$ 拓扑中的剩余性，表明此类平凡中心化子在 $C^1$ 微分同胚空间中是典型的，尽管并非开集。

ABSTRACT

In this announcement, we describe the solution in the C1 topology to a question asked by S. Smale on the genericity of trivial centralizers: the set of diffeomorphisms of a compact connected manifold with trivial centralizer residual in Diff^1 but does not contain an open and dense subset.

研究动机与目标

• 解决 S. Smale 关于在紧致连通流形上，$C^1$ 拓扑中平凡中心化子是否典型的疑问。
• 证明 $C^1$ 微分同胚中具有平凡中心化子的集合在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中是剩余集，从而正面回答了 Smale 问题的第二部分。
• 通过构造具有非平凡中心化子的 $C^1$-稠密 $C^\infty$ 微分同胚族，证明该集合不是开集，从而否定性回答了 Smale 问题的第三部分。
• 建立对于一般 $f$，任何与 $f$ 可交换的微分同胚在某个稠密开子集上必为 $f$ 的幂，且对一般 $f$，该指数函数在整个流形上为常数。

提出的方法

• 使用局部扰动技术，在 $f$ 近似线性作用的多个迭代中，对其导数进行小范围修改。
• 应用具有大返回时间的拓扑塔，以控制非周期轨道，并将扰动传播至长时间区间。
• 采用从 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 到利普希茨同胚紧子集空间的上半连续映射，分析中心化子的连续性。
• 通过上半连续性利用贝尔纲定理，识别中心化子映射的连续点的剩余集。
• 结合 $C^1$ 闭轨引理，确保在剩余集中存在双曲周期点，从而在返回时间无界时导出矛盾。
• 通过导数增长的矛盾论证：若中心化子元素为一致利普希茨但对应于无界幂次，则其导数呈指数增长，违反利普希茨有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中，具有平凡中心化子的 $C^1$ 微分同胚集合是否稠密？
• RQ2 该集合是否在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中是剩余集，即是否包含一个稠密的 $G_\delta$ 子集？
• RQ3 具有平凡中心化子的 $C^1$ 微分同胚集合是否包含一个开稠密子集？
• RQ4 一个 $C^1$ 一般微分同胚能否嵌入一个连续一维参数群（即流）中，或是否存在根？
• RQ5 一般 $C^1$ 微分同胚的中心化子结构如何？其与幂零性或可解性等群论性质有何关联？

主要发现

• 具有平凡中心化子的 $C^1$ 微分同胚集合在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中是剩余集，确认了对 Smale 问题第二部分的肯定回答。
• 对一般 $f$，任何与 $f$ 可交换的 $g$ 必须满足在 $M$ 的一个开稠密子集上 $g = f^\alpha$，其中 $\alpha$ 局部为常数。
• 对一般 $f$，指数 $\alpha$ 为全局常数，意味着 $Z^1(f) = \langle f \rangle$，因此中心化子是平凡的。
• 具有平凡中心化子的 $C^1$ 微分同胚集合不是开集，因为存在 $C^1$-稠密的 $C^\infty$ 微分同胚族，其具有较大的中心化子。
• 在维度 $\geq 3$ 时，此类例子具有周期点的开集；在低维情形下，它们作为流的时间-1 映射出现。
• 一个 $C^1$ 一般微分同胚的中心化子不能包含任何非平凡的阿贝尔子群，除非是 $\langle f \rangle$ 本身，对幂零群亦同理。