[论文解读] The Chern-Ricci flow on smooth minimal models of general type

Matthew Gill|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 17

一句话总结

本文证明了在一般型光滑 Hermitian 最小模型上，归一化的 Chern-Ricci 流全局且光滑地收敛到一个闭正当前置，且在 canonical bundle 的零点集之外的紧子集上收敛到 Kähler-Einstein 度量。该结果将 Tsuji 和 Tian-Zhang 的 Kähler-Ricci 流结果推广至非 Kähler 的 Hermitian 设置，表明 Chern-Ricci 流是复几何中的自然推广。

ABSTRACT

We show that on a smooth Hermitian minimal model of general type the Chern-Ricci flow converges to a closed positive current on M. Moreover, the flow converges smoothly to a Kahler-Einstein metric on compact sets away from the null locus of K_M. This generalizes work of Tsuji and Tian-Zhang to Hermitian manifolds, providing further evidence that the Chern-Ricci flow is a natural generalization of the Kahler-Ricci flow.

研究动机与目标

• 将归一化 Kähler-Ricci 流的收敛结果推广至使用 Hermitian 流形上的 Chern-Ricci 流的非 Kähler 设置。
• 在非必然 Kähler 的一般型光滑最小模型上，建立 Chern-Ricci 流的长时间存在性与收敛行为。
• 证明流在 canonical bundle $K_M$ 的零点集之外的紧子集上光滑收敛到 Kähler-Einstein 度量。
• 证明在自然的曲率与体积界下，极限当前置是唯一的，且为可能的最小奇异集。

提出的方法

• 通过一族 Kähler 型势函数 $\varphi(t)$ 将问题约化为复抛物 Monge-Ampère 方程。
• 利用参考度量 $\hat{\omega}_t$ 和固定体积形式 $\Omega$ 来控制流的演化。
• 应用 Collins-Tosatti 的技巧，构造一个 Bott-Chern 类 $-c_1^{BC}(M)$ 中的闭正当前置 $T = \hat{\omega}_\infty + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\psi$，满足 $T \geq c_0 \omega$。
• 引入量 $Q = \log \mathrm{tr}_{\omega_0} \omega - A\tilde{\varphi} + \frac{1}{\tilde{\varphi} + C_0}$，其中 $\tilde{\varphi} = \varphi - \psi$，以控制度量的迹。
• 应用最大值原理，得到 $\mathrm{tr}_{\omega_0} \omega$ 的一致上界，以 $\psi$ 表示，从而推出 $\mathrm{tr}_{\omega_0} \omega \leq \frac{C'}{e^{C\psi}}$。
• 利用 Gill [14] 的高阶估计，以及在 $M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ 上的局部 $C^\infty_{\text{loc}}$ 收敛，建立到 Kähler-Einstein 度量的光滑收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般型光滑 Hermitian 最小模型上，即使初始度量非 Kähler，归一化的 Chern-Ricci 流是否收敛到 Kähler-Einstein 度量？
• RQ2 收敛不光滑的精确奇异集是什么？能否将其表征为 $K_M$ 的零点集？
• RQ3 在非 Kähler 设置下，极限当前置是否能通过曲率与体积界唯一表征？
• RQ4 在 $K_M$ 为 nef 且大时，Chern-Ricci 流在非 Kähler 流形上的行为如何？是否推广了 Kähler-Ricci 流的行为？
• RQ5 流收敛到闭正当前置是否在当前置的弱紧性下稳定？是否可全局延拓？

主要发现

• 在一般型光滑 Hermitian 最小模型上，归一化的 Chern-Ricci 流对所有时间存在。
• 流作为当前置收敛到整个流形 $M$ 上的闭正当前置 $\omega_{KE}$。
• 在 $M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ 的紧子集上，流光滑收敛到满足 $\mathrm{Ric}(\omega_{KE}) = -\omega_{KE}$ 的 Kähler-Einstein 度量。
• 零点集 $\mathrm{Null}(K_M)$ 是光滑收敛的最小可能奇异集，此结论由 Collins-Tosatti 确认。
• 极限 Kähler-Einstein 当前置 $\omega_{KE}$ 是唯一的，即它是唯一在 $M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ 上光滑、满足曲率方程与体积界条件的闭正当前置。
• 在 $M \setminus \mathrm{Null}(K_M)$ 的紧子集上收敛是一致的，且满足 $\omega(t) \to \omega_{KE}$ 在 $C^\infty_{\text{loc}}(M \setminus \mathrm{Null}(K_M))$ 中。