[论文解读] The chi-y genera of relative Hilbert schemes for linear systems on Abelian and K3 surfaces

Lothar Göttsche, Vivek Shende|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文推导了阿贝尔曲面和K3曲面上线性系统中曲线的相对点Hilbert概形的$χ_{-y}$亏格的拟雅可比形式显式公式。通过通用塔罗逻辑积分与模形式性质，该文推广了Kawai、Maulik-Pandharipande-Thomas的结果，并扩展了Göttsche-Shende的猜想，证明这些亏格的生成系列可用拟雅可比形式与模形式表达，且以$χ_{-y}$亏格和模形式如$Δ(y,q)$给出显式闭式。

ABSTRACT

For an ample line bundle on an Abelian or K3 surface, minimal with respect to the polarization, the relative Hilbert scheme of points on the complete linear system is known to be smooth. We give an explicit expression in quasi-Jacobi forms for the chi-y genus of the restriction of the Hilbert scheme to a general linear subsystem. This generalizes a result of Yoshioka and Kawai for the complete linear system on the K3 surface, a result of Maulik, Pandharipande, and Thomas on the Euler characteristics of linear subsystems on the K3 surface, and a conjecture of the authors.

研究动机与目标

• 推导阿贝尔曲面和K3曲面上线性系统中曲线的相对点Hilbert概形的$χ_{-y}$亏格的通用公式。
• 将已知的欧拉示性数与精化曲线计数结果推广至$χ_{-y}$亏格设定。
• 证明Göttsche与Shende关于这些相对Hilbert概形的$χ_{-y}$亏格生成系列的猜想。
• 建立这些亏格的生成系列可用拟雅可比形式与模形式（如$Δ(y,q)$和通用丛的$χ_{-y}$-亏格）表达的结论。

提出的方法

• 作者为阿贝尔曲面和K3曲面上相对Hilbert概形的$χ_{-y}$亏格定义了生成系列$ℐ$、$ℐ$、$ℐ$和$ℐ$，使用$t$与$q$变量编码$n$与$g$。
• 他们使用归一化亏格$\overline{\chi}_{-y}(M) = y^{-\dim M/2} \chi_{-y}(M)$，并通过陈根定义向量丛的$X_{-y}(E)$。
• 关键技巧在于将生成系列$\mathbb{A}$与$\mathbb{K}$用模形式与拟雅可比形式表达，特别使用函数$X_{-y}(x)$与模判别式$\widetilde{\Delta}(y,q)$。
• 他们应用Lagrange反演公式以反转幂级数$\varepsilon(z_2)$，并推导出$\mathbb{A}$与$\mathbb{K}$关于$\widetilde{DG}_2(y,q)$与$\widetilde{\Delta}(y,q)$的显式表达式。
• 证明利用了已知的塔罗逻辑积分与普遍性结果，表明$\chi_{-y}$亏格仅依赖于曲面与线丛的陈类。
• 他们通过简化至已知情形验证公式：当$y=1$时，结果恢复欧拉示性数；当$y=-1$时，结果恢复实曲线计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔曲面和K3曲面上线性系统中曲线的相对Hilbert概形的$\chi_{-y}$亏格能否以通用闭式表达？
• RQ2 编码于$\chi_{-y}$亏格中的精化曲线计数如何与模形式和拟雅可比形式关联？
• RQ3 阿贝尔曲面和K3曲面上$\chi_{-y}$亏格生成系列的猜想公式是否成立？能否从塔罗逻辑积分推导出？
• RQ4 生成系列$\mathbb{A}$与$\mathbb{K}$的精确模结构为何？它们与$\widetilde{DG}_2(y,q)$和$\widetilde{\Delta}(y,q)$有何关系？

主要发现

• 当$t = y^{1/2}$时，阿贝尔曲面的生成系列$\mathbb{A}$由$\frac{\widetilde{DG}_2(y,q)^k (D\widetilde{DG}_2(y,q))^{1-\chi(\mathcal{O}_S)/2}}{\widetilde{\Delta}(y,q)^{\chi(\mathcal{O}_S)/2}}$给出，其中$k$与线性系统的度相关。
• K3曲面的生成系列$\mathbb{K}$满足$x\mathbb{K} = \widetilde{\Delta}(y,q)$，其中$\widetilde{\Delta}(y,q)$是权为12的模形式。
• 系列$\mathbb{X} = \frac{\mathbb{H}}{X_{-y}(\mathbb{H})}$可表示为$\frac{y^{1/2}(1 - e^{(y^{1/2}-y^{-1/2})\mathbb{H}})}{1 - y e^{(y^{1/2}-y^{-1/2})\mathbb{H}}}$，从而与通用亏格$X_{-y}$建立联系。
• 公式$\mathbb{A}$通过$\mathbb{A} = (y^{1/2} - y^{-1/2})^{-1} \left( A(y_1,q) + A(y_2,q) - A(y,q) \right)$推导得出，其中$A(y,q) = \sum_{nd>0} \text{sgn}(d) n^2 (y^d - 1) q^{nd}$。
• 系列$\mathbb{H} = D^{-1}\mathbb{A}$通过将$\mathbb{A}$对$q$积分得到，其在$t = y^{1/2}$处的特化给出$\widetilde{DG}_2(y,q)$。
• 对$\mathbb{K}$公式证明的关键在于将Lagrange反演公式应用于逆级数$z_2(\varepsilon)$，其被证明等于$-S(y,x)$，从而确认了生成系列的模结构。