[论文解读] The Classification of Stabilizer Operations over Qubits

Daniel Grier, Luke Schaeffer|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文使用基于表格的分解方法对量子比特上的稳定子门进行分类，识别出57种不同的门类，其中30种源自单量子比特 Clifford 子群。该分类聚焦于基的保持性以及新型表格不变量，例如可将 T₄ 门和相位门识别为 Z-保持门的一个真子类。

ABSTRACT

We present a complete classification of quantum stabilizer gates in terms of the functions they generate assuming the ability to swap qubits and use ancillary workspace. Because we view these stabilizer circuits as subroutines of some general quantum computation, we insist that any ancilla qubits used during the computation must not change in an input-dependent manner. This is the first attempt at a quantum extension of the classification of reversible classical gates introduced by Aaronson et al., another part of an ambitious program to classify all quantum gate sets. The classification uses, at its center, a reinterpretation of the tableau representation of stabilizer gates to give circuit decompositions, from which elementary generators can easily be extracted. There are a total of 57 different stabilizer classes generated in this way, 30 of which arise from the single-qubit subgroups of the Clifford group. At a high level, the remaining classes are arranged according to the bases they preserve. For instance, the CNOT gate preserves the X and Z bases because it maps X-basis elements to X-basis elements and Z-basis elements to Z-basis elements. The remaining classes are characterized by more subtle tableau invariants; for instance, the T_4 and phase gate generate a proper subclass of Z-preserving gates.

研究动机与目标

• 将 Aaronson 等人对经典可逆门的分类方法扩展至量子领域，特别针对稳定子操作。
• 在允许量子比特交换和辅助工作空间的假设下，对所有稳定子门进行分类，同时对辅助量子比特的状态演化施加约束。
• 基于被保持的基以及更深层次的表格不变量，识别并表征不同的稳定子门类。
• 通过重新诠释表格形式化方法，为稳定子门提供系统化的电路分解框架。
• 确定完整的57种稳定子门类集合，包括那些无法仅通过标准基保持性捕捉的门类。

提出的方法

• 重新诠释标准稳定子门表格表示，以实现向基本生成元的直接电路分解。
• 利用表格形式化方法，为每个稳定子门类提取基本生成集。
• 施加约束条件：辅助量子比特不得以依赖输入的方式发生变化，从而确保门作为干净子程序运行。
• 根据门所保持的基（如 CNOT 门保持 X 和 Z 基）对门类进行分类，并为非平凡子类识别更细微的不变量。
• 采用群论分析枚举所有可能的稳定子门类，区分来自单量子比特 Clifford 子群的门类。
• 通过分析表格不变量，识别出 T₄ 门和相位门构成 Z-保持门中的一个真子类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在辅助量子比特以输入无关方式演化的情况下，使用辅助量子比特时，完整的不同稳定子门类集合是什么？
• RQ2 如何重新诠释表格表示，以实现稳定子门的系统化电路分解和生成元提取？
• RQ3 哪些稳定子门类保持特定基（如 X 或 Z），它们与由更细微不变量定义的门类有何不同？
• RQ4 T₄ 门和相位门类与其它 Z-保持门有何区别，这种区别如何通过表格不变量捕捉？
• RQ5 稳定子门类的总数是多少，它们在单量子比特 Clifford 子群与更高级门类之间如何分布？

主要发现

• 在给定约束条件下，共识别出57种不同的稳定子门类，其中30种源自单量子比特 Clifford 子群。
• CNOT 门被证明同时保持 X 基和 Z 基，因为它将 X 基元素映射为 X 基元素，也将 Z 基元素映射为 Z 基元素。
• 除了基的保持性之外，更深层次的表格不变量可区分子类，例如 T₄ 门和相位门在 Z-保持门中形成一个真子类。
• 基于表格的分解方法成功提取了每个门类的基本生成元，从而实现了系统化的电路综合。
• 该分类建立了经典可逆门分类的量子扩展，现已应用于具有辅助量子比特约束的稳定子操作。
• 该框架确保辅助量子比特不会以依赖输入的方式改变，从而验证了稳定子电路在更大规模量子计算中作为子程序组件的适用性。