[论文解读] The cohomology of a variation of polarized Hodge structures over a quasi-compact Kähler manifold

Jürgen Jost, Yi-Hu Yang+1 more|ArXiv.org|Dec 7, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在拟紧凯勒流形 $M = \overline{M} \setminus D$ 上建立了两个 $L^2$-上同调复形之间的拟同构，其中 $\overline{M}$ 是具有法向相交除子 $D$ 的紧致凯勒流形。证明了 Higgs丛复形 $({\bf E}_{(2)}, \theta)$ 的超上同调同 $L^2$-分次德 Rham 复形关于 Hodge 滤子的全局 $L^2$-截面复形的上同调同构，通过 $L^2$-方法和单值性渐近分析，将 Deligne 的经典结果推广至非紧情形。

ABSTRACT

A systematic study of the contributions at infinity for the cohomology of variations of polarized Hodge structures over quasicompact Kähler manifolds. Several isomorphisms between different cohomologies given.

研究动机与目标

• 将 Deligne 的经典 $\overline{\partial}$-庞加莱引理和 $L^2$-上同调同构推广至具有法向相交除子的拟紧凯勒流形情形。
• 通过 Poincaré 型度量和 Hodge 度量，定义并研究 $\overline{M}$ 上 Higgs 丛复形的 $L^2$-子复形，利用单值性条件确保其与度量选择无关。
• 在 $L^2$-Higgs 复形与具有弱 $\overline{\partial}$-导数的 $L^2$-可测形式的精细层复形之间建立拟同构。
• 证明 $L^2$-Higgs 复形的超上同调同 $L^2$-德 Rham 复形的全局截面复形的上同调同构，推广了紧致情形的结果。

提出的方法

• 在 $M = \overline{M} \setminus D$ 上构造一个完备的凯勒度量 $\omega$，使其在除子 $D$ 附近具有 Poincaré 型行为，确保体积有限且在奇点附近增长受控。
• 将 $L^2$-子复形 $({\bf E}_{(2)}, \theta)$ 定义为 $\bf E \otimes \Omega^\cdot_{\overline{M}}(\log D)$ 的局部 $L^2$ 截面的芽层，利用 Higgs 场 $\theta$ 的有界性及单值性渐近行为。
• 引入一个精细层复形 $[\mathrm{Gr}^*_F A^\cdot({\bf H}_{\mathbb{C}})]_{(2)}$，其由具有弱 $\overline{\partial}$-导数的 $L^2$-可测形式构成，微分算子为 $D^{\prime\prime} = \overline{\partial} + \theta$。
• 证明复形 $({\bf E}_{(2)}, \theta)$ 是 $[\mathrm{Gr}^*_F A^\cdot({\bf H}_{\mathbb{C}})]_{(2)}$ 的子复形，并通过使用 $L^2$-估计和 $L^2$-设定下的 $\overline{\partial}$-庞加莱引理的同伦论证，证明包含映射诱导出拟同构。
• 利用精细层复形计算超上同调的事实，并由标准结果可知，其同构于该复形全局截面的上同调，从而将 $L^2$-上同调与全局 $L^2$-德 Rham 上同调联系起来。
• 利用单值性为单峰的假设（由 Borel 引理支持），确保 $L^2$-条件为代数确定，且与度量选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\overline{M}$ 上，Higgs 丛复形的 $L^2$-子复形是否与 Poincaré 型度量和 Hodge 度量的选择无关？若是，其由何种代数条件决定？
• RQ2 能否将 $L^2$-Higgs 复形 $({\bf E}_{(2)}, \theta)$ 的超上同调识别为关于 Hodge 滤子的德 Rham 复形全局 $L^2$-截面复形的上同调？
• RQ3 当使用 $L^2$-方法和弱导数时，Deligne 的经典拟同构结果是否可从紧致情形推广至拟紧凯勒情形？
• RQ4 Higgs 场 $\theta$ 在除子 $D$ 附近的渐近行为如何影响 $L^2$-上同调结构？
• RQ5 在极化 Hodge 结构变化的背景下，$L^2$-德 Rham 复形与 $L^2$-Higgs 复形之间的确切关系为何？

主要发现

• Higgs 丛的 $L^2$-截面复形 $({\bf E}_{(2)}, \theta)$ 与 Poincaré 型度量和 Hodge 度量的选择无关，仅依赖于变化的单值性数据。
• $L^2$-Higgs 复形 $({\bf E}_{(2)}, \theta)$ 与具有微分 $D^{\prime\prime} = \overline{\partial} + \theta$ 的精细层复形 $[\mathrm{Gr}^*_F A^\cdot({\bf H}_{\mathbb{C}})]_{(2)}$ 拟同构，建立了其超上同调之间的典范同构。
• $L^2$-Higgs 复形的超上同调同 $[\mathrm{Gr}^*_F A^\cdot({\bf H}_{\mathbb{C}})]_{(2)}$ 的全局截面复形的上同调同构，即 $\mathbb{H}^*({\overline{M}}, \{({\bf E} \otimes \Omega^\cdot_{\overline{M}}(\log D))_{(2)}, \theta\}) \simeq H^*(\{\Gamma({\overline{M}}, [\mathrm{Gr}^*_F A^\cdot({\bf H}_{\mathbb{C}})]_{(2)}), D^{\prime\prime}\})$。
• 证明依赖于使用 $L^2$-估计和 $L^2$-设定下的 $\overline{\partial}$-庞加莱引理构造同伦算子，表明任一 $L^2$-闭形式模去 Hodge 丛中的全纯形式均为 $D^{\prime\prime}$-恰当。
• 通过从 $H^k([\mathrm{Gr}^*_F A^\cdot({\bf H}_{\mathbb{C}})]_{(2)})$ 到 $H^k(\mathrm{Gr}^*_F \Omega^\cdot({\bf H}_{\mathbb{C}})_{(2)})$ 的映射 $j^*$ 识别上同调类是良定义且双射的，从而证明了拟同构。
• 该结果将 Deligne 的经典同构从紧致情形推广至非紧情形，为极化 Hodge 结构背景下 $L^2$-上同调提供了基础工具。