[论文解读] The cohomology of semi-infinite Deligne--Lusztig varieties

Charlotte Chan|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文证明了Lusztig在1979年关于局部域上除法代数的半无限Deligne–Lusztig概形上上同调的猜想，确立了上同调是纯的且集中在单一次数。它表明在同调中的环面特征空间是不可约的超临界表示，通过由有限型概形$X_h$构造的ind-概形的上同调，实现了这些表示的几何实现。关键结果是对同调群的完整描述，从而在单一上同调次数中得到不可约表示。

ABSTRACT

We prove a 1979 conjecture of Lusztig on the cohomology of semi-infinite Deligne--Lusztig varieties attached to division algebras over local fields. We also prove the two conjectures of Boyarchenko on these varieties. It is known that in this setting, the semi-infinite Deligne--Lusztig varieties are ind-schemes comprised of limits of certain finite-type schemes $X_h$. Boyarchenko's two conjectures are on the maximality of $X_h$ and on the behavior of the torus-eigenspaces of their cohomology. Both of these conjectures were known in full generality only for division algebras with Hasse invariant $1/n$ in the case $h = 2$ (the "lowest level") by the work of Boyarchenko--Weinstein on the cohomology of a special affinoid in the Lubin--Tate tower. We prove that the number of rational points of $X_h$ attains its Weil--Deligne bound, so that the cohomology of $X_h$ is pure in a very strong sense. We prove that the torus-eigenspaces of $H_c^i(X_h)$ are irreducible representations and are supported in exactly one cohomological degree. Finally, we give a complete description of the homology groups of the semi-infinite Deligne--Lusztig varieties attached to any division algebra, thus giving a geometric realization of the unramified supercuspidal representations of these groups. We expect that the techniques developed in this paper will be useful in studying these constructions for reductive groups over local fields in general.

研究动机与目标

• 证明关于局部域上除法代数的半无限Deligne–Lusztig概形上同调的Lusztig 1979年猜想。
• 验证Boyarchenko关于有限型概形$X_h$的最大性及同调中环面特征空间行为的两个猜想。
• 通过这些ind-概形的同调，为$p$-进李群的超临界表示提供几何实现。
• 确立$X_h$的上同调达到Weil–Deligne界，意味着在强意义上具有纯性。
• 确定半无限概形同调中环面特征空间的精确上同调次数及其不可约性。

提出的方法

• 通过有限型概形$X_h$的极限构造半无限Deligne–Lusztig概形作为ind-概形，使用幂零群概形$\mathbb{U}_{h,k}$。
• 应用Howe分解分析特征$\theta$，并用深度$h$和范数映射结构表示上同调次数$r_\theta$。
• 利用对偶性$H_i(X_h) \cong H_c^{2(n-1)(h-1)-i}(X_h) \otimes q^{n(n-1)(h-1)}$，将同调与紧支集上同调联系起来。
• 建立同构$H_i(\widetilde{X}_h) \cong \operatorname{Ind}_{\widetilde{\Gamma}_h}^{(L^\times/U_L^h) \times (D^\times/U_D^{n(h-1)+1})} H_i(X_h)$，将全局同调与$X_h$上的局部数据联系起来。
• 应用有限幂零群的Deligne–Lusztig理论，计算特征空间的交错和，证明其在单一次数中非零。
• 利用迹公式与伽罗瓦不变性，证明当$\theta$的$\operatorname{Gal}(L/K)$-稳定子平凡时，诱导表示$\eta_\theta$是不可约的。

实验结果

研究问题

• RQ1 半无限Deligne–Lusztig概形在局部域上除法代数的上同调是否满足Weil–Deligne界，从而意味着纯性？
• RQ2 在$X_h$的上同调中，环面特征空间是否为不可约表示，且是否仅在单一上同调次数中非零？
• RQ3 半无限概形的同调能否通过从$X_h$诱导的方式几何地实现超临界表示？
• RQ4 上同调次数$r_\theta$是否由$\theta$的Howe分解确定，且是否与$\ell$-进欧拉示性数的预期次数一致？
• RQ5 在何种条件下，$D^\times$-表示$H_{r_\theta}(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$是不可约的？

主要发现

• 概形$X_h$的有理点数量达到Weil–Deligne界，意味着$H_c^i(X_h, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$在强意义上是纯的。
• 环面特征空间$H_i(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$非零当且仅当$i = r_\theta$，且$r_\theta$由$\theta$的Howe分解确定。
• 当$\theta$的$\operatorname{Gal}(L/K)$-稳定子平凡时，同调群$H_i(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$是$D^\times$的不可约表示。
• 表示$\eta_\theta \cong \operatorname{Ind}_{\mathbb{Z} \cdot \mathcal{O}_D^\times}^{D^\times} \eta_\theta'$由$H_c^{r_\chi}(X_h, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$构造，其中$\chi = \theta|_{U_L^1}$。
• 对于非常正则元素$x \in \mathcal{O}_L^\times$，$\eta_\theta(x)$的迹为$(-1)^{r_\theta} \sum_{\gamma \in \operatorname{Gal}(L/K)} \theta^\gamma(x)$，确认了诱导表示的特征标公式。
• 表示$\eta_\theta^\circ$可提升至$\mathcal{O}_D^\times / U_D^{n(h-1)+1}$，且在非常正则元素$\zeta \in \mathcal{O}_L^\times$上的迹为$(-1)^{r_\theta} \theta(\zeta)$，确保与诱导过程的兼容性。