[论文解读] The cohomology ring of certain compactified Jacobians

Alexei Oblomkov, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文为有理曲线 $C_{q/p}: x^q = y^p$（其中 $(p,q)=1$）的紧化雅可比簇 $J_{q/p}$ 提供了其等变上同调环的显式表述，证明该环由 Chern 类 $e_2, \\dots, e_p$ 生成，关系式来源于涉及 $A(z)$ 和 $B(z)$ 的多项式理想的 $\epsilon$-饱和化。关键结果是 $H^*(J_{q/p})$ 上的错位过滤是乘法的，其对应的分次环是刚化映射 $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ 的模空间坐标环的退化形式，支持其与 Cherednik 代数及仿射 Springer 纤维之间深层次的联系。

ABSTRACT

We provide an explicit presentation of the equivariant cohomology ring of the compactified Jacobian $J_{q/p}$ of the rational curve $C_{q/p}$ with planar equation $x^{q}=y^{p}$ for $(p,q)=1$. We also prove analogous results for the closely related affine Springer fiber $Sp_{q/p}$ in the affine flag variety of $SL_{p}$. We show that the perverse filtration on the cohomology of $J_{q/p}$ is multiplicative, and the associated graded ring under the perverse filtration is a degeneration of the ring of functions on a moduli space of maps $\mathbb{P}^{1} o C_{q/p}$. We also propose several conjectures about $J_{q/p}$ and more general compactified Jacobians.

研究动机与目标

• 为有理曲线 $C_{q/p}: x^q = y^p$（其中 $(p,q)=1$）的紧化雅可比簇 $J_{q/p}$ 提供其等变上同调环的显式表述。
• 证明 $H^*(J_{q/p})$ 上的错位过滤是乘法的，确立上同调环的关键结构性质。
• 将错位过滤的对应分次环与刚化映射 $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ 的模空间的坐标环联系起来，提出一种退化机制。
• 将这些结果推广至仿射旗流形中 $\mathrm{SL}_p$ 的密切相关的仿射 Springer 纤维 $\mathrm{Sp}_{q/p}$，并猜想其在非环面及非平面曲线上的更广泛推广。

提出的方法

• 利用 $J_{q/p} \times C_{q/p}$ 上的普遍层 $\mathcal{F}^{\mathrm{univ}}$ 及其在投影到 $J_{q/p} \times \mathbb{P}^1$ 下的直接像 $\mathcal{E}^{\mathrm{univ}}_x$ 来定义 Chern 类 $e_i$。
• 通过分次环同构 $\mathbb{Q}[\epsilon, e_2, \dots, e_p, f_2, \dots, f_q]/I^{\mathrm{sat}}_{q/p} \cong H^*_{\mathbb{G}_m}(J_{q/p})$ 构造等变上同调环，其中 $I^{\mathrm{sat}}_{q/p}$ 是由 $A(z)$ 和 $B(z)$ 中的多项式恒等式定义的理想在 $\epsilon$ 下的饱和化。
• 通过 $\mathcal{E}^{\mathrm{univ}}_x$ 的等变 Chern 类的对称多项式定义 Chern 过滤，并利用 [OY] 中关于有理 Cherednik 代数的结果，证明其与错位过滤一致。
• 利用 $C_{q/p}$ 上的 $\mathbb{G}_m(q/p)$-作用在模空间 $M^{\mathrm{rig}}_1(\mathbb{P}^1, C_{q/p})$ 上定义一个分次，其坐标环 $\mathcal{O}_{q/p}$ 被猜想同构于错位过滤的对应分次。
• 使用计算代数系统对猜想进行数值验证，将 $J_{q/p}$ 的贝蒂数与 $\mathcal{O}_{q/p}$ 的分次部分维数进行比较，针对非环面曲线如 $C_{4,2q,s}$（其中 $s > 2q > 4$，$q,s$ 为奇数）。
• 提出关于一般曲线 $\Gamma$（具有有理正规化和平面奇点）的 $\chi(J_{\Gamma})$ 与 $\dim \mathcal{O}_{\Gamma}$ 关系的猜想，并以计算证据支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $(p,q)=1$ 的曲线 $x^q = y^p$，紧化雅可比簇 $J_{q/p}$ 的等变上同调环的显式表述是什么？
• RQ2 在 $H^*(J_{q/p})$ 上的错位过滤是否是乘法的？它与通过等变 Chern 类定义的 Chern 过滤有何关系？
• RQ3 能否将 $H^*(J_{q/p})$ 上错位过滤的对应分次环识别为刚化映射 $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ 的模空间坐标环的退化形式？
• RQ4 对于具有有理正规化和单个平面奇点的一般曲线 $\Gamma$，等式 $\dim \mathcal{O}_{\Gamma} = \chi(J_{\Gamma})$ 是否成立？
• RQ5 对于非环面曲线，$J_{\Gamma}$ 的贝蒂数与 $\mathcal{O}_{\Gamma}$ 的分次部分维数相比如何？这一比较能否用于提出一个猜想不等式？

主要发现

• 等变上同调环 $H^*_{\mathbb{G}_m}(J_{q/p})$ 同构于 $\mathbb{Q}[\epsilon, e_2, \dots, e_p, f_2, \dots, f_q]/I^{\mathrm{sat}}_{q/p}$，其中 $I^{\mathrm{sat}}_{q/p}$ 是由差式 $\prod_{j=0}^{q-1}A(z+jp\epsilon) - \prod_{i=0}^{p-1}B(z+iq\epsilon)$ 的系数生成的理想在 $\epsilon$ 下的饱和化，且 $A(z)$ 和 $B(z)$ 分别为以 $e_i$ 和 $f_j$ 为系数的 $z$ 的 $p$ 次和 $q$ 次多项式。
• 在 $H^*(J_{q/p})$ 上的错位过滤是乘法的，即满足 $P_{\leq i} \cup P_{\leq j} \subset P_{\leq i+j}$，且该过滤与通过 $\mathcal{E}^{\mathrm{univ}}_x$ 的等变 Chern 类的对称函数定义的 Chern 过滤一致。
• 错位过滤的对应分次环 $\mathrm{Gr}^P H^*(J_{q/p})$ 是刚化映射 $\mathbb{P}^1 \to C_{q/p}$ 的模空间坐标环 $\mathcal{O}_{q/p}$ 的退化形式，支持一个猜想同构 $\mathrm{Gr}^P H^{2i}(J_{q/p}) \cong \mathrm{Gr}^{j-i}_{\mathfrak{m}} \mathcal{O}_{q/p}[j]$（$j \in \mathbb{Z}$）。
• 对于非环面曲线 $C_{4,2q,s}$（其中 $s > 2q > 4$，$q,s$ 为奇数），$J_{q/p}$ 的贝蒂数超过 $\mathcal{O}_{q/p}$ 的分次部分维数，表明不等式 $\dim \mathrm{Gr}^{\delta-i}_{\mathfrak{m}} \mathcal{O}_{q/p} \leq \dim H^{2i}(\overline{\mathrm{Jac}}(C))$ 通常为严格不等式，但对 $C_{q/p}$ 成立等式。
• 对所有测试的非环面曲线（具有有理正规化和平面奇点，包括 $C_{4,2q,s}$）的猜想 $\dim \mathcal{O}_{\Gamma} = \chi(J_{\Gamma})$ 成立，且通过 Gröbner 基技术的计算验证得到支持。
• Piontkowski 关于非环面曲线 $J_{\Gamma}$ 的贝蒂数数据仅在一定程度上与 $\mathrm{Gr}^{\delta-i}_{\mathfrak{m}} \mathcal{O}_{q/p}$ 的维数匹配，更高次数中出现严格不等式，提示猜想 $\dim \mathcal{O}_{\Gamma} = \chi(J_{\Gamma})$ 仅对平面环面曲线是精确的。